题解：P2803 学校选址 II

思路

不妨考虑使用最短路径（动态规划 $+$ 递推）解决这个问题。

首先，设定第 $1$ 个楼的位置作为坐标原点，第 $i$ 个楼的位置表示为 $d_i$。通过逻辑推理，我们可以得出，如果在 $d_{i-1}$ 和 $d_i$ 中选择一个地点建立学校，那么最优的学校位置一定是这两个端点中的一个。具体地：

• 当前 $i-1$ 个大楼的总学生数大于第 $i$ 到 $n$ 个大楼的总学生数时，选择 $d_i$ 处建学校；
• 如果小于，则选择 $d_{i-1}$ 处建学校；
• 如果等于，两个点都可以作为学校的位置。

利用平面直角坐标系的知识

预处理一个二维数组 $g_{i,j}$，表示只考虑第 $i$ 到第 $j$ 个楼的学生时，放置学校的最优位置。

再定义一个动态规划数组 $f_{i,k}$，表示在前 $i$ 个楼范围内建立 $k$ 个学校时，可达到的最小总距离和。

• 当 $k\ge i$ 时，$f_{i,k}=0$（即，学校数量足够多，可以每个楼都建一个学校，没有距离成本）；
• 当 $k=1$ 时，$f_{i,k}=g_{1,i}$（即，只建一个学校时，选择范围内最优位置）；
• 在其他情况下，考虑最后一个学校覆盖的楼房范围。如果是建在 $d_l$ 到 $d_i$ 之间，则最小总距离为 $f_{l-1,k-1}+g_{l,i}$。

因此，动态规划的转移方程为：

$$f_{i,k}=\underset{l=1}{\overset{i}{\min }}\left(f_{l-1,k-1}+g_{l,i}\right)$$

最终结果即为 $f_{n,K}$，表示在所有楼中建立 $K$ 个学校时的最小总距离和。

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通过这种方式，我们可以系统地将问题分解为可管理的子问题，通过计算每个子问题的最优解并将这些解逐步合并，最终得到整个问题的最优解。

代码（有注释）：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110; // 定义常量N作为楼房数量和学校数量的最大值
int n, K;          // n代表楼房的数量，K代表要建立的学校的数量
int dis[N];        // dis数组存储从第一个楼房到当前楼房的总距离
int g[N][N], f[N][N], w[N]; // g数组存放子问题最优情况下的最小总距离和
                            // f数组用于动态规划，记录考虑前i座楼房建j所学校的最小总距离和
                            // w数组存放每个楼房人数的前缀和

int main() {
  // 读入楼房数量和需要建立的学校数量
  scanf("%d%d", &n, &K);
  // 初始化第0座楼房的累计人数为0
  w[0] = 0;
  // 循环读入每座楼房的人数，并计算累计人数
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    int x;
    scanf("%d", &x);
    w[i] = w[i - 1] + x;
  }
  // 初始化第1座楼房的累计距离为0
  dis[1] = 0;
  // 循环读入相邻楼房之间的距离，并计算每座楼房的累计距离
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    int x;
    scanf("%d", &x);
    dis[i] = dis[i - 1] + x;
  }

  // 计算g数组中每个子问题的最优解
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
      // 确定放置学校的最优位置
      int k;
      for (k = j; k <= i; k++)
        if (w[k] - w[j - 1] >= w[i] - w[k]) break;
      k = min(k, i);

      // 计算j到i所有楼房到学校k的距离和
      for (int l = j; l <= i; l++)
        g[j][i] += abs(dis[k] - dis[l]) * (w[l] - w[l - 1]);
    }

  // 初始化动态规划数组f，填充一个较大的数（表示距离无穷大）
  memset(f, 0x3f, sizeof f);
  // 动态规划计算至最多n座楼房，建立至多K座学校的最小总距离和
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= K; j++) {
      if (j >= i) f[i][j] = 0; // 学校数量不少于总楼房数，每座楼配一个学校，距离和为0
      else if (j == 1) f[i][j] = g[1][i]; // 只建一个学校的情况，距离和直接取g数组对应值
      else {
        // 枚举可能的学校位置，通过子问题的最优解更新当前问题的最小距离和
        for (int l = 1; l <= i; l++)
          f[i][j] = min(f[i][j], f[l - 1][j - 1] + g[l][i]);
      }
    }

  // 输出从1到n座楼房，建立K所学校的最小总距离和
  printf("%d\n", f[n][K]);
}