最长公共子序列（LCS）

最长公共子序列（LCS）

最长公共子序列是另一个经典的动态规划问题。
与上节中数字序列的子序列定义相同，在字符串 S 中按照其先后顺序依次取出若干个字符，并将它们排列成一个新的字符串，这个字符串就被称为原字符串的子串。
有两个字符串 S1 和 S2，求一个最长公共子串，即求字符串 S3，它同时为S1 和 S2 的子串，且要求它的长度最长，并确定这个长度。这个问题称为最长公共子序列问题。

与求最长递增子序列一样，首先将原问题分割成一些子问题，用dp[i][j]表示 S1 中前 i 个字符与 S2 中前 j 个字符分别组成的两个前缀字符串的最长公共子串长度。显然的，当 i、j 较小时可以直接得出答案，如 dp[0][j]必等于 0。那么，假设已经求得 dp[i][j](0<=i<x,0<=j<y)的所有值，考虑如何由这些值继而推得 dp[x][y]，求得 S1 前 x 个字符组成的前缀子串和 S2 前 y 个字符组成的前缀子串的最长公共子序列长度。

若 S1[x] = =S2[y]，即 S1 中的第 x 个字符和 S2 中的第 y 个字符相同，同时由于他们都是各自前缀子串的最后一个字符，那么必存在一个最长公共子串以 S1[x]或 S2[y]结尾，其它部分等价于 S1 中前 x-1个字符和S2中前y-1个字符的最长公共子串。所以这个子串的长度比dp[x-1][y-1]又增加 1，即 dp[x][y] = dp[x-1][y-1] + 1。相反的，若 S1[x] != S2[y]，此时其最长公共子串长度为 S1 中前 x-1 个字符和 S2 中前 y 个字符的最长公共子串长度与S1 中前 x 个字符和 S2 中前 y-1 个字符的最长公共子串长度的较大者，即在两种情况下得到的最长公共子串都不会因为其中一个字符串又增加了一个字符长度发生改变。综上所述，dp[x][y] = ma