机器学习（四）：Logistic回归

算法介绍

定义

logistic回归是一种广义线性回归（generalized linear model），因此与多重线性回归分析有很多相同之处。它们的模型形式基本上相同，都具有 w‘x+b，其中w和b是待求参数，其区别在于他们的因变量不同，多重线性回归直接将w‘x+b作为因变量，即y =w‘x+b，而logistic回归则通过函数L将w‘x+b对应一个隐状态p，p =L(w‘x+b),然后根据p 与1-p的大小决定因变量的值。如果L是logistic函数，就是logistic回归，如果L是多项式函数就是多项式回归

sigmoid函数

我们想要的函数应该是，能接受所有的输人然后预测出类别。例如，在两个类的情况下，上述函数输出0或1。或许你之前接触过具有这种性质的函数，该函数称为海维塞德阶跃函数(Heaviside step function) ,或者直接称为单位阶跃函数。然而，海维塞德阶跃函数的问题在于：该函数在跳跃点上从0瞬间跳跃到1，这个瞬间跳跃过程有时很难处理。幸好，另一个函数也有类似的性质，且数学上更易处理，这就是sigmoid函数。sigmoid函数具体的计算公式如下：

上图给出了sigmoid函数在不同坐标尺度下的两条曲线图。当Sigmoid函数值为0.5。随着x的增大，对应的sigmoid值将逼近于1; 而随着x的减小，Sigmoid值将逼近于0。如果横坐标刻度足够大，sigmoid函数看起来很像一个阶跃函数。
因此，为了实现sigmoid回归分类器，我们可以在每个特征上都乘以一个回归系数，然后把所有的结果值相加，将这个总和代人sigmoid函数中，进而得到一个范围在0〜1之间的数值。任何大于0.5的数据被分人1类，小于0.5即被归人0类。所以，Logistic回归也可以被看成是一种概率估计。

逻辑回归算法步骤

逻辑回归算法分三步（原理）：
（1）需要确定一个预测函数，即预测出一个值来判断归属哪一类，可定义预测值大于某个阈值判断为一类，反之为另一类；
（2）为了计算参数，我们需要定义一个损失函数，损失函数用来衡量真实值和预测值之间的差异，这个差值越小说明预测效果越好
（3）第三步，用梯度下降法计算参数，使损失函数不断减小，得出参数后，带入预测函数就可以来进行预测了。

预测函数

损失函数

算法示例

基于梯度上升算法的逻辑回归实现

#加载数据
def loadDataSet():
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open('testSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat

#定义sigmoid函数
def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))
    
#梯度上升函数
def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
    dataMatrix = mat(dataMatIn)             #convert to NumPy matrix
    labelMat = mat(classLabels).transpose() #convert to NumPy matrix
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.001
    maxCycles = 500
    weights = ones((n,1))
    for k in range(maxCycles):              #heavy on matrix operations
        h = sigmoid(dataMatrix*weights)     #matrix mult
        error = (labelMat - h)              #vector subtraction
        weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error #matrix mult
    return weights

#画出决策边界
def plotBestFit(weights):
    import matplotlib.pyplot as plt
    dataMat,labelMat=loadDataSet()
    dataArr = array(dataMat)
    n = shape(dataArr)[0] 
    xcord1 = []; ycord1 = []
    xcord2 = []; ycord2 = []
    for i in range(n):
        if int(labelMat[i])== 1:
            xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
    ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
    x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
    y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
    ax.plot(x, y)
    plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2');
    plt.show()

画出最佳拟合直线，测试方法和结果如下图

基于梯度上升算法的逻辑回归实现

梯度上升算法在每次更新回归系数时都需要遍历整个数据集, 该方法在处理100个左右的数据集时尚可，但如果有数十亿样本和成千上万的特征，那么该方法的计算复杂度就太高了。一种改进方法是一次仅用一个样本点来更新回归系数，该方法称为随机梯度上升算法。由于可以在新样本到来时对分类器进行增量式更新，因而随机梯度上升算法是一个在学习算法。与“在线学习”相对应，一次处理所有数据被称作是“批处理”。
随机梯度上升算法可以写成如下的伪代码：
所有回归系数初始化为1
对数据集中每个样本
计算该样本的梯度
使用alpha x gradient 更新回归系数值
返回回归系数值

#随机梯度上升算法
def stocGradAscent0(dataMatrix, classLabels):
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.01
    weights = ones(n)   #initialize to all ones
    for i in range(m):
        h = sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
        error = classLabels[i] - h
        weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i]
    return weights

随机梯度上升算法与梯度上升算法在代码上很相似，但也有一些区别：第一，后者的变量h和误差error都是向量，而前者则全是数值；
第二，前者没有矩阵的转换过程，所有
变量的数据类型都是NUmPy数组。

测试代码

if __name__ == '__main__':
    group,labels =  loadDataSet()
    print group
    print labels
    weights = stocGradAscent0(array(group), labels)
    plotBestFit(weights)

得到最佳拟合直线图
从拟合曲线来看随机逻辑回归不像逻辑回归那么完美，但是可以通过修改算法，提高曲线的拟合度，有一下两种方式：
（1）每次都修改alpha 的值
（2）随机选取样本来更新回归系数

#改进的随机梯度上升算法
def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=150):
    m,n = shape(dataMatrix)
    weights = ones(n)   #initialize to all ones
    for j in range(numIter):
        dataIndex = range(m)
        for i in range(m):
            alpha = 4/(1.0+j+i)+0.0001    #apha decreases with iteration, does not 
            randIndex = int(random.uniform(0,len(dataIndex)))#go to 0 because of the constant
            h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
            error = classLabels[randIndex] - h
            weights = weights + alpha * error * dataMatrix[randIndex]
            del(dataIndex[randIndex])
    return weights

测试代码和得到的结果如下
可以看出分隔线的效果已经和逻辑回归的很接近了

利用上面得到的随机逻辑回归来实现预测患有疝病的马的存活问题

#以归系数和特征向量作为输入来计算对应的sigmoid值
def classifyVector(inX, weights):
    prob = sigmoid(sum(inX*weights))
    if prob > 0.5: 
    	return 1.0
    else:
    	return 0.0
    
#通过随机逻辑回归和训练集的数据来计算回归系数向量，然后通过测试机来得出分类错误率

def colicTest():
    frTrain = open('horseColicTraining.txt'); frTest = open('horseColicTest.txt')
    trainingSet = []; trainingLabels = []
    for line in frTrain.readlines():
        currLine = line.strip().split('\t')
        lineArr =[]
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        trainingSet.append(lineArr)
        trainingLabels.append(float(currLine[21]))
    trainWeights = stocGradAscent1(array(trainingSet), trainingLabels, 1000)
    errorCount = 0; numTestVec = 0.0
    for line in frTest.readlines():
        numTestVec += 1.0
        currLine = line.strip().split('\t')
        lineArr =[]
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        if int(classifyVector(array(lineArr), trainWeights))!= int(currLine[21]):
            errorCount += 1
    errorRate = (float(errorCount)/numTestVec)
    print "the error rate of this test is: %f" % errorRate
    return errorRate
    
#调用函数colicTest() 10次并求结果的平均值
def multiTest():
    numTests = 10; errorSum=0.0
    for k in range(numTests):
        errorSum += colicTest()
    print "after %d iterations the average error rate is: %f" % (numTests, errorSum/float(numTests))

从上面的结果可以看到，10次迭代之后的平均错误率为3 5 %。事实上，这个结果并不差，因
为有3 0 %的数据缺失。当然，如果调整colicTest()中的迭代次数和stocGradAscent1()中的步长，平均错误率可以降到20%左右。

总结

Logistic回归的目的是寻找一个非线性函数Sigmoid的最佳拟合参数，求解过程可以由最优化
算法来完成。