HDU 6267 Master of Random （找规律）

最新推荐文章于 2021-08-04 15:15:41 发布

LSD20164388

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本文探讨了一种算法，用于解决给定n个节点时，随机生成树结构的平均值计算问题。通过分析节点在不同树结构中出现的频率，找到规律并利用预处理技术，实现了O(n)的时间复杂度求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

给你n(n<=1e5)个节点。第i个节点的父亲是随机的，范围为0~i-1。

定义一棵树的值为 $\sum_{i=1}^{n}val[i]$ 其中val[i]为以i为根的子树的所有点的权值之和。

给你a[i](i=1~n)（每个点的权值），求所有可能的树的平均值。

思路：找规律，看每个节点在n确定时被计算了多少次，发现

n=1 1

n=2 1 2

n=3 2 4 5

n=4 6 12 15 17

n=5 24 48 60 68 74

发现每一个n 的最后一项等于 $n*sum[n-1]+(n-1)!$ ，sum[0]=1。（这里n从0开始）

然后每个n，第一项就是(n-1)!。即d[1]=(n-1)!

把差写出来，就很容易发现n确定时，d[i]=d[i-1]+c[n-1]/(i-1); 而d[n]就是 $(n-1)*sum[n-2]+(n-2)!$

然后预处理d[n]，阶乘，逆元就可以O(n)求答案了

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=200010;
const ll mo=998244353;
ll n,m,k;
ll a[maxn],c[maxn],sum[maxn],d[maxn];
ll ans,ct,cnt,tmp,flag;
char s[maxn];
ll power(ll a,ll n)   //aµÄn´Î·½mod
{
    ll ans=1;
    a=a%mo;
    while (n)
    {
        if(n&1) ans=(ans*a)%mo;
        n>>=1;
        a=(a*a)%mo;
        }
    return ans;
}
int main()
{
    c[0]=1;
    for(int i=1;i<=100010;i++)
    {
        c[i]=(c[i-1]*(ll)i)%mo;
    }
    sum[0]=1;
    for(int i=1;i<=100010;i++)
    {
        sum[i]=(sum[i-1]*(ll)i%mo+c[i-1])%mo;
        //cout<<sum[i]<<endl;
    }
    int T,cas=1;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ans=0;   flag=1;
        scanf("%lld",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
           scanf("%lld",&a[i]);
        }
        ll ans=0;
        d[1]=c[n-1];
        d[2]=d[1]*2;
        d[n]=sum[n-1];
        for(ll i=3;i<=n-1;i++)
        {
            d[i]=(d[i-1]+c[n-1]*power(i-1,mo-2)%mo)%mo;
            //cout<<d[i]<<' * '<<endl;
        }
        //cout<<ans<<endl;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            ans=(ans+a[i]*d[i]%mo)%mo;
        }
        ans=ans*power(c[n],mo-2)%mo;
        printf("%lld\n",ans);

    }
    return 0;
}