[Luogu P2257] [BZOJ 2820] YY的GCD

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题目描述

神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题

给定$N,M$,求$1\le x\le N,1\le y\le M$且$gcd(x,y)$为质数的$(x,y)$有多少对

kAc这种傻×必然不会了，于是向你来请教……

多组输入

输入输出格式

输入格式：

第一行一个整数$T$ 表述数据组数

接下来$T$行，每行两个正整数，表示$N,M$

输出格式：

$T$行，每行一个整数表示第i组数据的结果

输入输出样例

输入样例#1：

2
10 10
100 100

输出样例#1：

30
2791

说明

$T=10000$

$N,M\le 10000000$

解题分析

先简化式子：（仍然不妨设$n\le m$）
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)\in prime] \\ =\sum _{p\le n,p\in prime}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=p] \\ =\sum _{p\le n,p\in prime}\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor }\sum _{d|gcd(i,j)}\mu (d) \\ =\sum _{p\le n,p\in prime}\sum _{d=1}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }\mu (d)\lfloor \frac{n}{dp}\rfloor \lfloor \frac{m}{dp}\rfloor \end{gathered}$$
设$T=dp$
$$\begin{gathered} \sum _{p\le n,p\in prime}\sum _{d=1}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }\mu (d)\lfloor \frac{n}{dp}\rfloor \lfloor \frac{m}{dp}\rfloor \\ =\sum _{T=1}^n\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor \sum _{d|T}\mu (d)[\frac{T}{d}\in prime] \end{gathered}$$
设$G(x)={\sum }_{d|x}\mu (d)[\frac{x}{d}\in prime]$, $x=p\times q,p\in prime$， 考虑如何筛这个玩意。

• $x$为质数， $G(x)=1$。
• 新加入的一个质数$p$在原来的$q$中间出现过了， 即$qmodp=0$， 那么只有当$\frac{x}{d}=p$的时候可能有值， 所以$G(x)=\mu (q)$。
• 新加入的一个质数$p$在原来的$q$中间没有出现， 那么当$p|d$的时候， 得到的值为$-G(q)$， 当$\frac{x}{d}=p$的时候， 得到的值为$\mu (q)$， 所以$G(x)=-G(q)+\mu (q)$。

这样我们就可以线筛$G(x)$了， 结合下底分块即可$AC$。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 10000050
template <class T>
IN void in(T &x)
{
	x = 0; R char c = gc;
	for (; !isdigit(c); c = gc);
	for (;  isdigit(c); c = gc)
	x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
template <class T> IN T min(T a, T b) {return a < b ? a : b;}
int pcnt;
int pri[MX], F[MX], sum[MX], miu[MX];
bool npr[MX];
IN void get()
{
	F[1] = 0, miu[1] = 1;
	R int i, j, tar;
	for (i = 2; i <= 1e7; ++i)
	{
		if (!npr[i]) pri[++pcnt] = i, miu[i] = -1, F[i] = 1;
		for (j = 1; j <= pcnt; ++j)
		{
			tar = i * pri[j];
			if (tar > 1e7) break;
			npr[tar] = true;
			if (!(i % pri[j]))
			{
				F[tar] = miu[i];
				miu[tar] = 0;
				break;
			}
			miu[tar] = -miu[i];
			F[tar] = miu[i] - F[i];
		}
	}
	for (R int i = 1; i <= 1e7; ++i) sum[i] = sum[i - 1] + F[i];
}
int main(void)
{
	int T, n, m;
	R int lef, rig;
	long long ans;
	in(T); get();
	W (T--)
	{
		in(n), in(m); ans = 0;
		if (n > m) std::swap(n, m);
		lef = 1; 
		for (; lef <= n; lef = rig + 1)
		{
			rig = min(n / (n / lef), m / (m / lef));
			ans += 1ll * (sum[rig] - sum[lef - 1]) * (n / lef) * (m / lef);
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
}