[Luogu P2149] [SDOI2009]Elaxia的路线

最新推荐文章于 2021-10-07 16:00:55 发布

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本文探讨了一个涉及最短路径算法的问题，通过在包含N个节点和M条边的无向图中找到两对点之间的最长公共路径，以解决Elaxia和w**如何在忙碌的大学生活中最大化共处时间的挑战。解决方案包括使用四次SPFA或Dijkstra算法确定四个关键点的最短路径，然后分析最短路径依赖图(DAG)以找出公共边，最终通过动态规划(dp)获得最优解。

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题目描述

最近，Elaxia和w**的关系特别好，他们很想整天在一起，但是大学的学习太紧张了，他们必须合理地安排两个人在一起的时间。

Elaxia和w**每天都要奔波于宿舍和实验室之间，他们希望在节约时间的前提下，一起走的时间尽可能的长。

现在已知的是Elaxia和w**所在的宿舍和实验室的编号以及学校的地图：地图上有 $N$ 个路口， $M$ 条路，经过每条路都需要一定的时间。具体地说，就是要求无向图中，两对点间最短路的最长公共路径。

输入输出格式

输入格式：

第一行：两个整数 $N$ 和 $M$ （含义如题目描述）。

第二行：四个整数 $x_1$ 、 $y_1$ 、 $x_2$ 、 $y_2$ （ $1 ≤ x_1 ≤ N$ ， $1 ≤ y_1 ≤ N$ ， $1 ≤ x_2 ≤ N$ ， $1 ≤ y_2 ≤ N$ ），分别表示Elaxia的宿舍和实验室及w**的宿舍和实验室的标号（两对点分别 $x_1,y_1$ 和 $x_2,y_2$ ）。

接下来 $M$ 行：每行三个整数， $u$ 、 $v$ 、 $l$ （ $1 \leq u \leq N$ ， $1 \leq v \leq N$ ， $1 \leq l \leq 10000$ ），表 $u$ 和 $v$ 之间有一条路，经过这条路所需要的时间为 $l$ 。

输出格式：

一行，一个整数，表示每天两人在一起的时间（即最长公共路径的长度）

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

说明

对于30%的数据， $N \leq 100$ ；

对于60%的数据， $N \leq 1000$ ；

对于100%的数据， $N \leq 1500$ ，输入数据保证没有重边和自环。

解题分析

做4遍 $S P F A$ 或 $D i j k s t r a$ ，求出四个点的单源最短路径，进而得到最短路 $D A G$ 上的公共边，最后按从 $x_1$ 出发的最短路 $D A G$ 的拓扑序 $d p$ 得到答案。

注意在 $x_1\to y_1$ 的最短路上可能有 $y_2\to x_2$ 的一截最短路，判断的时候应该小心。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 1505
#define ME 200500
template <class T>
IN void in(T &x)
{
    x = 0; R char c = gc;
    for (; !isdigit(c); c = gc);
    for (;  isdigit(c); c = gc)
    x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
int dot, line, cnt, xx1, xx2, yy1, yy2;
bool inq[MX];
std::queue <int> q;
int st1[MX], ed1[MX], st2[MX], ed2[MX], head[MX], nw[MX], deg[MX];
struct Edge {int from, to, len, val, nex;} edge[ME << 2];
IN void add(R int from, R int to, R int len)
{edge[++cnt] = {from, to, len, 0, head[from]}, head[from] = cnt;}
IN void addnw(R int from, R int to, R int len, R int mul)
{edge[++cnt] = {from, to, len, mul, nw[from]}, nw[from] = cnt;}
IN int SPFA(int *dis, R int st)
{
    std::memset(dis, 63, 4 * MX - 4);
    dis[st] = 0; q.push(st); R int now, i;
    W (!q.empty())
    {
        now = q.front(); q.pop();
        for (i = head[now]; i; i = edge[i].nex)
        {
            if(dis[edge[i].to] > dis[now] + edge[i].len)
            {
                dis[edge[i].to] = dis[now] + edge[i].len;
                if (!inq[edge[i].to]) inq[edge[i].to] = true, q.push(edge[i].to);
            }
        }
        inq[now] = false;
    }
}
void init()
{
    int tmp = cnt;
    for (R int i = 1; i <= tmp; ++i)
    {
        if(st1[edge[i].from] + edge[i].len + ed1[edge[i].to] == st1[yy1])//on the fisrt
        {
            if(st2[edge[i].from] + edge[i].len + ed2[edge[i].to] == st2[yy2] || st2[edge[i].to] + edge[i].len + ed2[edge[i].from] == ed2[xx2])
            addnw(edge[i].from, edge[i].to, edge[i].len, 1);
            else addnw(edge[i].from, edge[i].to, edge[i].len, 0);
            ++deg[edge[i].to];
        }
    }
}
IN void SPFA2(int *dis, R int st)
{
    std::memset(dis, -1, MX * 4 - 4); dis[xx1] = 0;
    q.push(xx1); R int now, i;
    W (!q.empty())
    {
        now = q.front(); q.pop();
        for (i = nw[now]; i; i = edge[i].nex)
        {
            if(!(--deg[edge[i].to])) q.push(edge[i].to);
            dis[edge[i].to] = std::max(dis[edge[i].to], dis[now] + edge[i].len * edge[i].val);
        }
    }
}
int main(void)
{
    int a, b, c;
    in(dot), in(line), in(xx1), in(yy1), in(xx2), in(yy2);
    for (R int i = 1; i <= line; ++i)
    {
        in(a), in(b), in(c);
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
 	SPFA(st1, xx1); SPFA(ed1, yy1); SPFA(st2, xx2); SPFA(ed2, yy2);
    init(); SPFA2(st1, xx1);
    printf("%d", st1[yy1]);
}