[Luogu P1220] 关路灯

最新推荐文章于 2022-05-10 21:25:57 发布

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区间DP

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本文探讨了一种针对路灯关灯顺序的优化算法，旨在帮助老张在一条装有n盏路灯的村庄道路上，找到最节能的关灯路径。通过记录每盏路灯的位置和功率，利用区间动态规划算法，计算出从老张所在位置出发，如何关灯才能使总功耗最小。文章详细介绍了算法原理，并提供了一个具体实例和源代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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题目描述

某一村庄在一条路线上安装了n盏路灯，每盏灯的功率有大有小（即同一段时间内消耗的电量有多有少）。老张就住在这条路中间某一路灯旁，他有一项工作就是每天早上天亮时一盏一盏地关掉这些路灯。

为了给村里节省电费，老张记录下了每盏路灯的位置和功率，他每次关灯时也都是尽快地去关，但是老张不知道怎样去关灯才能够最节省电。他每天都是在天亮时首先关掉自己所处位置的路灯，然后可以向左也可以向右去关灯。开始他以为先算一下左边路灯的总功率再算一下右边路灯的总功率，然后选择先关掉功率大的一边，再回过头来关掉另一边的路灯，而事实并非如此，因为在关的过程中适当地调头有可能会更省一些。

现在已知老张走的速度为 $1 m / s$ ，每个路灯的位置（是一个整数，即距路线起点的距离，单位： $m$ ）、功率（ $W$ ），老张关灯所用的时间很短而可以忽略不计。

请你为老张编一程序来安排关灯的顺序，使从老张开始关灯时刻算起所有灯消耗电最少（灯关掉后便不再消耗电了）。

输入输出格式

输入格式：

文件第一行是两个数字 $n$ ( $1\le n\le 50$ ，表示路灯的总数)和 $c$ ( $1\le c\le n$ 老张所处位置的路灯号)；

接下来 $n$ 行，每行两个数据，表示第 $1$ 盏到第 $n$ 盏路灯的位置和功率。数据保证路灯位置单调递增。

输出格式：

一个数据，即最少的功耗(单位： $J$ ， $1 J ＝ 1 W \cdot s$ )。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

说明

输出解释：

{此时关灯顺序为 $3\ 4\ 2\ 1\ 5$ ，不必输出这个关灯顺序}

解题分析

区间 $d p$ 板题。由于我们在任何时刻肯定是关闭了中间连续的一段路灯，设 $P_{sum}$ 为总功率之和， $d p [0 / 1] [i] [j]$ 表示关闭了 $[i, j]$ 这一段路灯，当前在 $i / j$ 点，那么分情况讨论就好了。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 55
template <class T>
IN void in(T &x)
{
	x = 0; R char c = gc;
	for (; !isdigit(c); c = gc);
	for (;  isdigit(c); c = gc)
	x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
template <class T> IN T max(T a, T b) {return a > b ? a : b;}
template <class T> IN T min(T a, T b) {return a < b ? a : b;}
int dp[2][MX][MX];
int sumP[MX], pos[MX];
int dot, start;
int main(void)
{
	in(dot); in(start); std::memset(dp, 127, sizeof(dp));
	for (R int i = 1; i <= dot; ++i)
	in(pos[i]), in(sumP[i]), sumP[i] += sumP[i - 1];
	dp[1][start][start] = dp[0][start][start] = 0;
	R int bd, to;
	for (R int seg = 1; seg < dot; ++seg)
	{
		bd = dot - seg;
		for (R int from = 1; from <= bd; ++from)
		{
			to = from + seg;
			dp[0][from][to] = min(dp[0][from + 1][to] + (pos[from + 1] - pos[from]) * (sumP[dot] + sumP[from] - sumP[to]), dp[1][from + 1][to] + (pos[to] - pos[from]) * (sumP[dot] + sumP[from] - sumP[to]));
			dp[1][from][to] = min(dp[0][from][to - 1] + (pos[to] - pos[from]) * (sumP[dot] + sumP[from - 1] - sumP[to - 1]), dp[1][from][to - 1] + (pos[to] - pos[to - 1]) * (sumP[dot] + sumP[from - 1] - sumP[to - 1]));
		}
	}
	printf("%d", min(dp[0][1][dot], dp[1][1][dot]));
}