九校联考-DL24 凉心模拟 Day2T1 锻造 (forging)

最新推荐文章于 2021-12-20 17:59:25 发布

原创最新推荐文章于 2021-12-20 17:59:25 发布 · 410 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#概率与期望 #动态规划

动态规划同时被 2 个专栏收录

126 篇文章

订阅专栏

概率与期望

9 篇文章

订阅专栏

勇者寻求锻造高级武器，面对复杂锻造规则与概率，求助智者计算强化至特定等级武器的期望花费。本篇通过解析锻造过程，利用数学序列知识，给出算法实现，帮助勇者高效达成目标。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

勇者虽然武力值很高，但在经历了多次战斗后，发现怪物越来越难打，于是开始思考是不是自己平时锻炼没到位，于是苦练一个月后发现……自己连一个史莱姆都打不过了。

勇者的精灵路由器告诉勇者其实是他自己的武器不好，并把他指引到了锻造厂。

“欢迎啊，老朋友。”

一阵寒暄过后，厂长带他们参观了厂子四周，并给他们讲锻造的流程。“我们这里的武器分成若干的等级，等级越高武器就越厉害，并且对每一等级的武器都有两种属性值 $b$ 和 $c$ ，但是我们初始只能花 $a$ 个金币来生产 $1$ 把 $0$ 级剑……”

“所以你们厂子怎么这么垃圾啊，不能一下子就造出来 $999$ 级的武器吗？”勇者不耐烦的打断了厂长的话。

“别着急，还没开始讲锻造呢……那我们举例你手中有一把 $x$ 级武器和一把 $y$ 级武器 ( $y = m a x (x - 1, 0)$ )，我们令锻造附加值 $k = min(c_x, b_y)$ ，则你有 $kcx\frac{k}{c_x}$ 的概率将两把武器融合成一把 $x + 1$ 级的武器。”

“……但是，锻造不是一帆风顺的，你同样有 $1−kcx1-\frac{k}{c_x}$ 的概率将两把武器融合成一把 $m a x (x - 1, 0)$ 级的武器……”

勇者听完后暗暗思忖，他知道厂长一定又想借此机会坑骗他的零花钱，于是求助这个村最聪明的智者——你，来告诉他，想要强化出一把 $n$ 级的武器，其期望花费为多少？

由于勇者不精通高精度小数，所以你只需要将答案对 $998244353$ ( $7 \times 17 \times 223 + 1$ ，一个质数 ) 取模即可。

输入输出格式

输入格式

第一行两个整数 $n$ , $a$ ，含义如题所示。

为了避免输入量过大，第二行五个整数 $b x, b y, c x, c y, p$ ，按照下列代码

来生成 $b$ 和 $c$ 数组。

b[0]=by+1;c[0]=cy+1;

for(int i=1;i<=n;++i)
{

	b[i]=((long long)b[i-1]*bx+by)%p+1;

	c[i]=((long long)c[i-1]*cx+cy)%p+1;

}

输出格式

输出一行一个整数，表示期望花费。

输入输出样例

输入样例#1：

10 2
2 33 6 66 2333333

输出样例#1：

976750710

解题分析

首先我们来考虑两把 $0$ 级的武器合成一把 $1$ 级的武器期望花费为多少。设成功的概率为 $p$ ， $0$ 级武器花费为 $c o s t$ ，那么显然这个值就为 $cost+p×cost+p×(1−p)×cost+2×p×(1−p)2×costcost+p\times cost+p\times (1-p)\times cost+2\times p\times (1-p)^2 \times cost$ ，根据数列的知识可以得到这玩意的值是 $cost+1p×costcost+\frac{1}{p}\times cost$

那么其他情况也就以此类推了。我们发现合成失败的时候并不会损失 $x - 1$ 的，所以这个概率就只与 $x$ 的期望值有关，即 $exp[i]=exp[i−2]+1p×exp[i−1]exp[i]=exp[i-2]+\frac{1}{p}\times exp[i-1]$ 。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MX 10000050
#define MOD 998244353
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define ll long long
int bx, by, cx, cy, a, n, p, mx;
int b[MX], c[MX], dp[MX], inv[MX];
int main(void)
{
	scanf("%d%d", &n, &a);
	scanf("%d%d%d%d%d", &bx, &by, &cx, &cy, &p);
	b[0] = by + 1; c[0] = cy + 1; mx = max(b[0], c[0]);
	for (R int i = 1; i < n; i++)
	{
		b[i] = (1ll * b[i - 1] * bx + by) % p + 1, mx = max(mx, b[i]);
		c[i] = (1ll * c[i - 1] * cx + cy) % p + 1, mx = max(mx, c[i]);
	}
	inv[1] = 1;
	for (R int i = 2; i <= mx; ++i) inv[i] = 1ll * (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;
	dp[0] = a;
	dp[1] = (1ll * inv[min(c[0], b[0])] * dp[0] % MOD * c[0] + dp[0]) % MOD;
	for (R int i = 2; i <= n; ++i) dp[i] = (1ll * inv[min(c[i - 1], b[i - 2])] * dp[i - 1] % MOD * c[i - 1] % MOD + dp[i - 2]) % MOD;
	printf("%d", dp[n]);
}