[BZOJ1419] Red is good

最新推荐文章于 2018-09-01 13:27:00 发布

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#概率与期望 #动态规划

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概率与期望

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探讨了一种涉及红黑牌的翻牌游戏中，如何通过动态规划算法找到最优翻牌策略来最大化平均收益的问题。文章详细介绍了状态转移方程，并提供了一段高效的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

桌面上有R张红牌和B张黑牌，随机打乱顺序后放在桌面上，开始一张一张地翻牌，翻到红牌得到1美元，黑牌则付出1美元。可以随时停止翻牌，在最优策略下平均能得到多少钱。

Input

一行输入两个数R,B,其值在0到5000之间

Output

在最优策略下平均能得到多少钱。

Sample Input

5 1

Sample Output

4.166666

HINT

输出答案时,小数点后第六位后的全部去掉,不要四舍五入.

解题分析

显然为期望概率DP。我们设 $dp[r][b]$ 表示还剩r张红牌， b张黑牌时的期望收益，则有转移方程：

d p [r] [b] = m a x (0, (d p [r - 1] [b] + 1) \times r r + b + (d p [r] [b - 1] - 1) \times b r + b

$dp[r][b]=max(0,(dp[r-1][b]+1) \times \frac {r}{r+b}+(dp[r][b-1]-1) \times \frac{b}{r+b}$

特别地， $dp[i][0]=i$ ， $dp[0][i]=0$ ，因为收益为负还不如不选….

算一算复杂度，大概是 $O(2e7)$ 左右，但因为是double运算速度感人，所以我们必须把数组卡进三级缓存，所以必须使用滚动数组。同时这个输出也是坑人啊…

代码如下:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define R register
#define IN inline
#define gc getchar()
#define W while
#define MX 5005
#define db double
db dat[2][MX];
int main(void)
{
    int r, b;
    scanf("%d%d", &r, &b);
    R int n = 0;
    for (R int i = 0; i <= r; ++i)
    {
        n ^= 1;
        dat[n][0] = i;
        for (R int j = 1; j <= b; ++j)
        dat[n][j] = max(0.0, (dat[n ^ 1][j] + 1) * (double)i / (i + j) + (dat[n][j - 1] - 1) * (double)j / (i + j));
    }
    long long ans = dat[n][b] * 1000000;
    printf("%lld.%.6lld", ans / 1000000, ans % 1000000);
    return 0;
}