【数论】埃氏筛法&&CODE[VS] 3223 素数密度 = =

埃氏筛法详解及应用

最新推荐文章于 2025-09-19 18:05:18 发布

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#博客 #数论 #质数

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本文详细介绍了埃氏筛法的时间复杂度为O（nloglogn），并阐述了如何通过筛除小于等于sqrt(n)的所有质数来提高算法效率。通过具体的题目示例，展示了如何在指定范围内高效筛出合数。

DQS真是太神辣！
学长博客地址：http://blog.youkuaiyun.com/loi_dqs/article/details/49486467（点击进入异♂世界）

埃氏筛法:

时间复杂度O（nloglogn）
(md优快云分分钟崩溃，重写第四次QAQ)
想要得到n以内所有质数，应筛去sqrt(n)以内的所有质数的倍数
为什么呢
因为，我们假设a = sqrt(n),所以有a^2 == n,因此一个自然数的因数，如果大于sqrt(n),则必定有一个因数是小于sqrt(n)的，反之亦然，所以只需要找到小于等于sqrt(n)的质数即可，减少了运算次数，提高了效率。

对于3223，这个题，一个问题就是l,r范围有点大，直接用数组存肯定会炸掉，所以我们就不存了！！！，直接在sqrt(n)以内筛出质数，再用筛出来的质数在区间[l,r]中筛出合数。
这里我们让j = max(2,(l+i-1)/i)*i，作为枚举的下界，（i是你之前所筛出的一个质数），之所以在2与（l+i-1）/i之间取max,是因为2是最小的质数同时也是普遍i的最小倍数（因为i*1没必要举到），一定不能小于2，而（l+i-1）/i则是大于等于l的i的最小倍数，这么做的话是可以减少运算步数，最后将这个倍数乘以i本身，再在循环的时候，每次加i，就可以很快地找出合数了

还有就是在用质数筛合数的时候，别忘了在2后加上 -ll后缀，2ll表示long long型的常数2

垃圾题代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

const long long maxn = 1233333;

using namespace std;
typedef long long LL;

LL l,r;
LL ans;
LL n;
bool pri[maxn];
bool check[maxn];

LL read()
{
    char ch;
    LL data = 0;
    LL f = 1;
    while(ch <'0'|| ch >'9')
    {
        if(ch == '-')
        {
            f = -1;
        }
        ch = getchar();

    }
    do{
        data = data*10+ch-'0';
        ch = getchar();
    }while(ch >='0'&&ch <='9');
    data *= f;
return data;
}

inline void prime(LL x)
{
    memset(check,0,sizeof(check));
    for(LL i = 2;i <= sqrt(x);i++)
    {
        if(check[i] != 1)
        {
            for(LL j = i*i;j <= sqrt(x);j += i)
            {
                check[j] = 1;
            }
            for(LL j=max(2ll,(l+i-1)/i)*i;j<=r;j+=i) 
            {
                pri[j-l]=1;
            }
        } 
    }
}

int main()
{
    l = read();
    r = read();
    prime(r);
    for(LL i = 0;i <= r - l;i++)
        if(!pri[i]) 
            ans++;
    printf("%lld\n",ans);
return 0;
}