区间dp以及求解这类问题的一般方法

来，先上线一道题。

求解区间dp的一般套路：

1，注意范围是否合理，例如会不会越界。

2，一般是从大范围往内推直到能简单处理的小范围（小区间）。

3，剪枝，一般初始化dp，要不是初始化的值，一般就直接返回了，这也类似于记忆化搜索。

4，注意特殊情况

hdu 5900

题意：给出n组的key，value值，相邻的两个key如果它们的最大公约数不是1，那么我们可以将它们加起来，并清除。

问：找出最大的结果，可以挑选任意相邻的。

 

思路：

这里的解题思路参考此博客：https://blog.youkuaiyun.com/spark__s/article/details/52585459

dp题，用dp[[i][j]表示从i到j之间的最优解，转移方程可以这样写

当i>=j的时，dp[i][j]=0; （范围越界）

当i+1==j且key[i]和key[j]互质时，dp[i][j]=0;  （缩小至能够简单处理的区间）

当i+1==j且key[i]和key[j]不互质时，dp[i][j]=val[i]+val[j]

其他情况为，枚举k从i到j-1, dp[i][j]=max(dp[i][k]+dp[k+1][j]).

上面还遗漏了一种情况，就是i+1到j-1之间都可以取，且i和j不互质，这种情况i到j所有的数都可以取。

解释下，为什么会遗漏这种情况，是说（i+1)到（j-1）满足条件，并移走之后，头跟尾会变成相邻的一对，喔，这里就有点坑了，考得真细。

以上就是所有情况，接下来写代码就可以了。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL key[305];
LL val[305];
LL dp[305][305];
LL gcd(LL a,LL b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
LL cal(int x,int y)
{
	if(dp[x][y]!=-1) ///剪枝，不为-1，表示当前范围已经把最大结果计算好了，故直接返回就好了
		return dp[x][y];
	LL t=gcd(key[x],key[y]);
	if(x>=y)  ///范围越界
	{
		return dp[x][y]=0;
	}
	if(x+1==y&&t!=1) ///能简单处理的情况（小区间）
	{
		return dp[x][y]=val[x]+val[y];
	}
    if(x+1==y&&t==1) ///也是能简单处理的情况（小区间）
	{
		return dp[x][y]=0;
	}
	LL _max=0;
	if(t!=1) ///特殊情况
	{
		LL xx=0;
		for(int i=x+1;i<=y-1;i++)
		{
			xx+=val[i];
		}
		if(cal(x+1,y-1)==xx)
			_max=xx+val[x]+val[y];
	}
	for(int i=x;i<=y-1;i++) ///从大范围开始往内缩
	{///为什么i不是从x+1开始的呢？举个例子：key 2 4 8
	    ///要是从x+1开始，那么就不会计算到[2,3]，显然是不行的
		_max=max(_max,cal(x,i)+cal(i+1,y));
	}
	return dp[x][y]=_max;
}
int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		memset(dp,-1,sizeof(dp));
		int n;
		scanf("%d",&n);
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			scanf("%lld",&key[i]);
		}
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			scanf("%lld",&val[i]);
		}
		LL ans=cal(0,n-1);
		printf("%lld\n",ans);
	}

}

 

我的标签：做个有情怀的程序员。