[2018 Wannafly summer camp] 区间权值

最新推荐文章于 2024-07-19 17:33:47 发布

LILINGYU2001

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/LILINGYU2001/article/details/81772111

本文介绍了一种通过前缀和处理实现区间和计算的优化算法，该算法能够在O(n)的时间复杂度内解决特定问题。通过对不同长度的区间进行分析，找到各数组元素被累加的次数规律，并利用这一规律来提高计算效率。

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这里写图片描述

观察可知 $\sum_{l=1}^{n}\sum_{r=l}^{n}f(l,r)$ 的意义为长度为 $r-l+1$ 的所有区间的和与 $w_r-l+1$ 的乘积。
枚举 $l$ 、 $r$ 势必会超时，于是我们找一下规律。

以 $n=7$ 为例。
区间长度为1时，如下图所示：
这里写图片描述
每一条粗线表示每个元素被加的次数，也就是说，每个元素都被加了1次。

区间长度为2时，如下图所示：
这里写图片描述
第1、7个元素被加了1次，其余元素被加了2次。

区间长度为3时，如下图所示：
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第1、7个元素被加了1次，第2、6个元素被加了2次，第3、4、5个元素被加了3次。

区间长度为4时，如下图所示：
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区间长度为5时，如下图所示：
这里写图片描述

区间长度为6时，如下图所示：
这里写图片描述

区间长度为7时，如下图所示：
这里写图片描述

可以发现，各数组元素加的次数先增后减，且是对称的。各区间长度的和也是对称的。用前缀和处理即可做到 $O(n)$ 求解。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD=1e9+7;
int n,pnt;ll a[310101],w[310101],suma[310101],sumb[310101];
ll sumc[310101];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        suma[i]=suma[i-1]+a[i];
        suma[i]%=MOD;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&w[i]);
    sumb[1]=suma[n];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(n-i+1>i-1)
        {
            sumb[i]=sumb[i-1]+(suma[n-i+1]-suma[i-1]);
            sumb[i]%=MOD;
        }
        else
        {
            pnt=i-1;
            break;
        }
    }
    sumb[n]=suma[n];
    for(int i=n-1;i>=pnt+1;i--)
    {
        sumb[i]=sumb[n-i+1];
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans+=(sumb[i]*w[i])%MOD;
        ans%=MOD;
    }
    ans%=MOD;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}