算法导论记录丨15.1钢条切割、LCR 126. 斐波那契数/习题15.1-5、53. 最大子数组和

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于 2024-02-10 11:06:20 首次发布

本文介绍了如何使用动态规划解决钢条切割问题，通过自顶向下、备忘录和自底向上方法求解最大收益。同时提及了斐波那契数和最大子数组和问题作为动态规划的示例。

15.1钢条切割

假设你有一根长度为n英寸的钢条和一个价格表，表中列出了不同长度的钢条的售价。你可以选择不同的方式切割这根钢条，然后将切割后的各段钢条按照价格表出售。目标是确定如何切割钢条以使得销售收益最大化。

问题的输入是一个价格表P[i]，其中i=1,2,...,n，表示长度为i英寸的钢条的价格，以及钢条的总长度n。问题的输出是最大收益R[n]以及达到这个最大收益时各段钢条的长度。

解决这个问题的动态规划方法涉及将问题分解为更小的子问题，然后逐步构建解决原问题的方法。具体来说，动态规划算法会计算出对于每个长度i（1 <= i <= n），切割钢条所能得到的最大收益R[i]。这是通过比较不切割钢条（即直接出售整根钢条）和所有可能的切割方案（即将钢条切割为两部分，并递归地计算这两部分的最大收益）的收益来实现的。

算法的关键是避免重复计算相同子问题的解，这通常通过两种方式实现：

自顶向下的备忘录方法：这种方法首先尝试解决最大规模的问题，即求R[n]，并在递归过程中，将所有小于n的R[i]的值存储在一个数组中，以避免重复计算。
自底向上的方法：这种方法从最小的子问题开始，即R[1]，然后逐步计算所有R[i]直到R[n]。这种方法利用了子问题的解依赖于更小的子问题的解这一事实，通过迭代计算而不是递归来避免重复计算。

自顶向下的递归方法：

def cut_rod(p, n):
    if n == 0:
        return 0
    q = -float('inf')
    for i in range(1, n + 1):
        q = max(q, p[i] + cut_rod(p, n - i))
    return q

带备忘的自顶向下方法：

def memoized_cut_rod(p, n):

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