数据结构之图

1.图

图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间的边的集合组成，通常表示为：G(V,E),其中G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合

2.图中定义

2.1无向边

若顶点Vi到Vj之间的边没有方向，则称这个边为无向边(Edge),用无序对(Vi,Vj)来表示。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图是无向图；

2.2有向边

若顶点Vi到Vj之间的边有方向，则称这个边为有向边,也称为弧(Arc)。用有序对<Vi,Vj>来表示。其中vi称为弧尾(Tail)，vj称为弧头(Head)。如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图是有向图；

2.3简单图

在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图

2.4无向完全图

在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则该图称为无向完全图。

2.5图的权

有些图的边或者弧具有与它相关的数字，这种与图的边或者弧相关的数叫做权(Weight)。这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费，这种带权的图通常称为网。

2.6有向图的弧度

以顶点v为头的弧的数目称为v的入度(InDegree),记做ID(v);以v为尾的弧的数目称为v的出度(OutDegree),记做OD(v);顶点v的度为TD(v)=ID(v)+OD(v)。

2.7回路与简单环

第一个和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。

2.8连通图

在无向图G中，如果顶点v到顶点v‘有路径，则称v和v’是连通的。如果对于图中任意两个顶点vi、vj∈E，Vi、Vj都是连通的，则称G是连通图。(Connected Graph)。

2.9无向图中的极大连通子图

• 1.要是子图;
• 2.子图要是连通的;
• 3.连通子图含有极大顶点数;
• 4.具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边

• 2.10.有向图中的强连通分量

  在有向图中，如果对于每一对vi、vj∈V，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。

  3.连通图的生成树

  一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

  4.1图的邻接矩阵

  图的临接矩阵(Adjacency Matrix)存储方式是用2个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组(称为临界矩阵)存储图中的边或者弧的信息。

  无向图

  有了这个矩阵，
  

• 我们要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行(或者第i列)的元素之和；
• 求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中的第i行元素扫描一遍。arc[i][j]为1的就是邻接点。

• 有向图

  有向图的邻接矩阵并不对称。vi的入度是vi列各数之和，出度为vi行各数之和。

  网图

  4.2邻接表

  对于边数相对顶点较少的图，邻接矩阵浪费存储空间。
  将数组和链表相结合的存储方法称为邻接表。
  

  • 
    
  • 1.图中顶点用一个一维数组存储。(也可以采用单链表，不过数组元素可以容易地读取顶点信息，更加方便。)另外，在顶点数组中，每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针，以便于查找该顶点的边信息。
  • 2.图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点个数不一定，所以用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图称为顶点vi作为弧尾的出边表。