【面试常见算法整理】Binary Indexed Tree（Fenwick Tree，树状数组）详解

问题：求一个数组中连续n项的和。

首先想到的肯定是做一个循环，把这个连续的n项加起来，时间复杂度为O（n）。复杂度为n，看起来还不错，再说了求n个数的和，怎么也要加n次吧，所以说这应该就是最优解了，但是一提交结果是Time Limit Exceeded，顿时傻眼了，难道还有复杂度更低的方法？

会不会有O（logn）的解法？

O（n）的那个算法，如果只操作一次还是可以接受的，但是如果需要大量的求和操作，比如第一次求下标（1，1234）的和第二次求下标（2，1024）的和，很容易发现在第一次计算的过程中（2，1024）的和是计算过的，只是没有保存下来，导致第二次求和的时候还要再算一遍。你有没有想过，如果事先把一部分的和先计算并保存起来，这样会不会更快一些呢？

Binary Indexed Tree(BIT)

其实树状数组(Binary Indexed Tree(BIT), Fenwick Tree)就是这样做的，他是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值。

核心思想:

• 树状数组中的每个元素是原数组中一个或者多个连续元素的和。
• 在进行连续求和操作a[1]+…+a[n]时，只需要将树状数组中某几个元素的和即可。时间复杂度为O(lgn)

下面是一个示意图

a[]: 保存原始数据的数组
e[]: 树状数组，其中的任意一个元素e[i]可能是一个或者多个a数组中元素的和。如e[2]=a[1]+a[2]; e[3]=a[3]，e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]。
e[i]中的元素：如果数字 i 的二进制表示中末尾有