UVALive - 4094 WonderTeam 贪心+推理

本文介绍了一种通过特定的比赛胜负设定来确定“梦之队”最低可能排名的算法。通过构造性的方法设置每支队伍的胜负平局情况,确保梦之队在进球数、胜利场次及失球数上满足特定条件,最终推导出不同队伍数量下梦之队的排名。

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题目大意:有n支队伍,每两支队伍打两场比赛(主客场各一次),胜得3分,平得1分,输不得分,比赛结束之后会评选出一个梦之队,梦之队满足以下条件:进球总数最多,胜利场数最多,丢求总数最少,三个都不能并列,求梦之队的最低排名

解题思路:

1.让梦之队的胜利场的进球总数达到无穷大(当然这是不可能的),输的场都是进0球对方队伍进1球,平的场都是0:0的得分,这样即使梦之队只赢一场也能达到进球总数最多了,其他队伍的平局的时候就让其丢求数大于梦之队的总丢球数,这样梦之队的丢球总数就是最少了

2.胜利场数最多,胜利场的得分是3分,要让梦之队的排名尽量低的话,胜利场数就不能太多,输的场数让其多一点

所以让梦之队只赢两场,其他队伍都赢1场,这样就能推出梦之队的排名了

队伍         赢              输         平              总分

梦之队      2               n-1        n-3             n+3

队伍1        1              1           2 n-4           2n-1 

队伍2        1              1            2n-4           2n-1

其他队伍  1               0            2n-3           2n

由以上可以推出

n <= 3 时 梦之队第一名

n == 4 时 第二名

n > 4 时 最后一名

#include<cstdio>

int main() {
	int n;
	while( scanf("%d",&n) == 1 && n ) {
		if(n <= 3)
			printf("1\n");
		else if(n == 4)
			printf("2\n");
		else
			printf("%d\n",n);
	}
	return 0;
}


<think>首先,用户的问题是:“请问贪心算法的正确性证明方法”。根据系统级指令,我需要使用中文回答,并确保LaTeX语法正确,包括行内数学表达式用$...$和独立公式用$$...$$。 用户提供了几个引用内容,这些是关于贪心算法正确性证明的。引用[1]到[5]讨论了贪心算法的证明方法,如归纳法(对算法步数归纳、对问题规模归纳)和交换论证法。 关键点: - 归纳法:包括第一数学归纳法和第二数学归纳法。 - 交换论证法:从最优解出发,通过交换或替换元素,证明贪心解不会变坏,最终得到矛盾或证明等价。 我的回答需要结构清晰,帮助用户逐步解决问题。参考用户意图,用户可能在学习贪心算法,需要了解如何证明其正确性。 回答结构: 1. **引言**:简要介绍贪心算法和证明正确性的重要性。 2. **证明方法**:详细解释归纳法和交换论证法。 - 对于归纳法,提供例子和步骤。 - 对于交换论证法,解释步骤和例子。 3. **例子**:使用一个简单的贪心算法例子来说明证明方法,如活动选择问题或硬币找零问题。 4. **总结**:概括要点。 5. **相关问题**:生成相关问题,以鼓励用户进一步学习。 确保LaTeX格式: - 行内数学表达式:如$P(n)$,$O(n)$。 - 独立公式:如果需要,单独成段,用$$...$$。 引用标识:在回答中自然地添加引用标识,如[^1]、[^2]等,基于提供的引用。 提供的引用: - [^1]: 归纳法和交换论证法。 - [^2]: 归纳法和交换论证法。 - [^3]: 数学归纳法和交换论证法。 - [^4]: 交换论证法的思想。 - [^5]: 证明贪心算法是最优解的方法。 在回答中,我可以引用这些来支持内容。 **生成相关问题**:系统指令要求生成相关问题。在最后添加“§§相关问题§§”部分,列出3-5个相关问题。 例如: 1. 贪心算法在哪些情况下可能不适用? 2. 如何选择贪心策略? 3. 贪心算法与动态规划的区别是什么? 现在,构建回答。 **步骤1: 引言** - 解释贪心算法:贪心算法在每一步选择局部最优解,希望达到全局最优解。但证明其正确性很重要,因为不是所有问题都适用贪心策略。 **步骤2: 证明方法** - **归纳法**: - 第一数学归纳法:证明基础情况成立,然后假设第n步成立,证明第n+1步成立。 - 第二数学归纳法:证明基础情况,假设所有小于n的情况成立,证明n成立。 - 例子:活动选择问题[^1]。 - **交换论证法**: - 假设存在一个最优解,然后通过交换元素,将其转换为贪心解,而不恶化解的质量。 - 例子:最小延迟调度[^1]。 **步骤3: 例子** - 使用一个简单例子,如硬币找零问题(如果贪心策略适用),但硬币找零可能不总是贪心最优,所以选择活动选择问题。 - 活动选择问题:给定活动起始和结束时间,选择最大兼容活动集。贪心策略:按结束时间排序,选择最早结束的。 - 证明:用归纳法或交换论证法。 **步骤4: 总结** - 概括证明方法。 **步骤5: 相关问题** - 列出3-5个问题。 确保回答真实可靠:基于标准算法知识,引用提供的材料。 LaTeX示例: - 行内:$P(n)$ - 独立:如果需要,如定义公式。 最终回答用中文。</think>### 贪心算法的正确性证明方法 贪心算法是一种在每一步选择中,都采取当前状态下最优(即局部最优)决策的策略,旨在通过这些局部最优解组合得到全局最优解。然而,贪心算法并不总是能保证全局最优性,因此证明其正确性至关重要。常用的证明方法包括**归纳法**和**交换论证法**。下面我将逐步解释这些方法,并辅以示例,确保内容清晰易懂。证明过程基于数学严谨性,参考了算法领域的标准知识[^1][^2][^3]。 #### 1. **归纳法** 归纳法通过数学归纳原理证明贪心算法的正确性,适用于问题结构具有递归或子问题性质的情况。主要包括两种形式: - **第一数学归纳法**:证明基础情况成立,再假设第 $n$ 步成立,推导第 $n+1$ 步成立。 - **步骤**: 1. **基础步骤**:证明贪心策略对最小规模问题(如 $n=1$)成立。 2. **归纳步骤**:假设对规模 $n$ 的问题成立,证明在贪心选择下,规模 $n+1$ 的问题也成立。 - **示例:活动选择问题** 问题描述:给定一组活动(每个活动有开始和结束时间),选择最大兼容活动集(即活动不重叠)。贪心策略:按结束时间升序排序,每次选择最早结束的活动[^1]。 证明: - 基础步骤:当只有一个活动时,贪心选择显然最优。 - 归纳步骤:假设对前 $k$ 个活动成立。考虑第 $k+1$ 个活动:如果其开始时间不早于已选活动的结束时间,贪心策略将其纳入;否则跳过。这保证了兼容性最大化,因为更早结束的活动留出更多时间给后续活动[^1][^3]。 数学表达:设 $S_k$ 为前 $k$ 个活动的最优解,则 $S_{k+1} = S_k \cup \{a_{k+1}\}$(如果兼容),否则 $S_{k+1} = S_k$。通过归纳,贪心解覆盖所有可能。 - **第二数学归纳法**:证明基础情况成立,再假设所有小于 $n$ 的规模成立,推导规模 $n$ 成立。 - **适用场景**:问题规模递归依赖于更小子问题,如最优装载问题(贪心按重量升序装载)[^1][^3]。 - **步骤**: 1. 基础步骤:$n=1$ 时成立。 2. 归纳步骤:假设所有 $k < n$ 时贪心策略成立,证明 $n$ 时成立。通过分解子问题,确保贪心选择不破坏最优性。 归纳法的核心是:贪心选择保留了问题的最优子结构(即局部最优能组合成全局最优)[^2][^5]。但需注意,归纳法要求问题具有“贪心选择性质”(greedy choice property),否则证明可能失败。 #### 2. **交换论证法** 交换论证法(Exchange Argument)通过比较贪心解与一般最优解,证明贪心解不劣于任何最优解。适用于问题元素可“交换”或“替换”的场景[^1][^4]。 - **步骤**: 1. **假设存在最优解**:设 $O$ 是任意一个最优解,$G$ 是贪心解。 2. **定义转换规则**:构造一个转换过程,逐步将 $O$ 中的元素替换为 $G$ 中的元素,而不恶化解的质量(如目标函数值不变坏)。 3. **证明转换可行**:确保转换在有限步内结束,且最终 $O$ 被转换为 $G$ 或其等价形式。 4. **推导矛盾**:如果贪心解 $G$ 不是最优,则通过转换后 $O$ 会变成 $G$,但 $G$ 的质量未变坏,矛盾。因此 $G$ 必须最优[^4][^5]。 - **示例:最小延迟调度问题** 问题描述:安排作业(每个作业有处理时间和截止时间),最小化最大延迟。贪心策略:按截止时间升序排序(最早截止时间优先)[^1]。 证明: - 假设存在最优解 $O$ 与贪心解 $G$ 不同。 - 找到 $O$ 中第一个不按贪心顺序的作业对(如作业 $i$ 在 $j$ 前,但 $d_i > d_j$)。 - 交换 $i$ 和 $j$ 的顺序:计算交换后延迟不会增加(因为 $d_j \leq d_i$,交换可能减少延迟)。 - 重复交换,最终 $O$ 转换为 $G$,且延迟未变坏,故 $G$ 最优[^1][^4]。 数学表达:设目标函数为最大延迟 $L_{\max}$,交换后 $L_{\max}' \leq L_{\max}$,证明 $G$ 最小化 $L_{\max}$。 交换论证法的优势在于它能处理非递归问题,但要求问题具有“交换不变性”(交换元素不影响可行性)[^2][^4]。 #### 总结 - **归纳法**:适合子问题递归结构,强调步数或规模归纳。 - **交换论证法**:适合元素可比较和交换的问题,从最优解出发逐步转换。 - **关键点**:证明前需验证贪心策略是否满足两个性质——贪心选择性质(局部最优能导向全局最优)和最优子结构(问题可分解)。如果这些性质不成立,贪心算法可能失败(如部分背包问题贪心最优,但0-1背包问题贪心不一定最优)[^3][^5]。 在实践中,选择证明方法取决于问题特性。建议通过经典问题(如活动选择、最小延迟调度)练习证明,以加深理解[^1][^2][^3]。
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