BZOJ1042：[HAOI2008]硬币购物（容斥原理+DP）

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容斥原理

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本文介绍了一道经典的完全背包问题，并结合容斥原理解决了一个有关硬币组合的问题。通过预处理价值范围内的所有可能组合，再利用容斥原理计算特定条件下硬币组合的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目传送门：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1042

题目分析：我看某个课件看到这题，一开始还以为每组询问都重新给出四个面值，导致我一直没有思路QAQ。

由于四个面值是固定的，可以先做一次完全背包，将价值为1~maxs的答案记下来。每次询问的时候，记f(s)表示只有 s集合中的硬币超过限制的方案数，记g(s)表示 至少有 s集合中的硬币超过限制，其余任意的方案数。显然g(s)可以通过将总价值减去 $\sum_{i\in s}(d[i]+1)c[i]$ ，然后调用dp数组得出。而又因为：

g (s) = \sum t \supseteq s f (t)

$g(s)=\sum_{t\supseteq s}f(t)$

容斥一下可得：

f (s) = \sum t \supseteq s (- 1) | t | - | s | g (t)

$f(s)=\sum_{t\supseteq s}(-1)^{|t|-|s|}g(t)$

算出f(0)即为答案。

CODE：

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn=100100;
typedef long long LL;

LL f[maxn];
int c[4];

int d[4];
int s,t;
LL ans;

int Get(int x)
{
    int y=0;
    while (x) x-=(x&(-x)),++y;
    return y;
}

int main()
{
    freopen("1042.in","r",stdin);
    freopen("1042.out","w",stdout);

    f[0]=1;
    for (int i=0; i<4; i++)
    {
        scanf("%d",&c[i]);
        for (int j=c[i]; j<maxn; j++) f[j]+=f[ j-c[i] ];
    }

    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    {
        for (int i=0; i<4; i++) scanf("%d",&d[i]);
        scanf("%d",&s);

        ans=0;
        for (int i=0; i<16; i++)
        {
            int x=Get(i);
            int n=s;
            for (int j=0; j<4; j++)
                if (i&(1<<j)) n-=( (d[j]+1)*c[j] );

            LL val=0;
            if (n>=0) val=f[n];
            if (x&1) ans-=val;
            else ans+=val;
        }

        printf("%lld\n",ans);
    }

    return 0;
}