奇异值分解(SVD)原理详解及推导

本文介绍了SVD(奇异值分解)的基本概念与原理,并探讨了其在工程实践中的应用,如PCA(主成分分析)及推荐系统等领域。文章详细解释了满秩分解、正交矩阵与正交变换的概念,为理解SVD提供了坚实的数学基础。

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今天学习SVD原理,查看一些博文与资料,为了方便复习,做一下学习笔记。

SVD不仅是一个数学问题,在工程应用中的很多地方都有它的身影,比如前面讲的PCA,掌握了SVD原理后再去看PCA那是相当简单的,在推荐系统方面,SVD更是名声大噪,将它应用于推荐系统的是Netflix大奖的获得者Koren,可以在Google上找到他写的文章。

满秩分解

ACm×nr,那么存在BCm×rrCCr×nr,使得A=BC,其中B为列满秩矩阵,C为行满秩矩阵;这样的分解为矩阵的满秩分解

正交矩阵

定义

AAT=EE为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”。)或ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵。

正交变换

正交矩阵是在欧几里得空间里的叫法,在酉空间里叫酉矩阵一个正交矩阵对应的变换叫正交变换,这个变换的特点是不改变向量的尺寸和向量间的夹角,那么它到底是个什么样的变换呢?看下面这张图1:
图1

通过图1,可知:

向量x=[ab]e1e2相互正交的单位向量,e1e2相互正交的单位向量;设oa=Me1ob=Me2,其中M为线性变换的矩阵(即将坐标旋转)。

设置Me1e11模为σ1Me2e21的模为σ2,则

Me1=σ1e1(1)
Me2=σ2e2(2)

通过向量的性质我们知道:
x=(e1x)e1+(e2x)e2(3)
Mx=(e1x)Me1+(e2x)Me2(4)

因为(1)与(2),则:
Mx=(e1x)σ1e1+(e2x)σ2e2(5)

在(5)中e1xe2x是向量的内积,我们转换成向量转置来表示:
Mx=(e1Tx)σ1e1+(e2Tx)σ2e2(6)

M=e1σ1e1T+e2σ2(e2T)(7)

通过(7)知道:
M=UΣVT(8)

其中U矩阵的列向量分别是e1e2Σ是一个对角矩阵,对角元素分别是对应的σ1 和 σ2,V矩阵的列向量分别是e1e2。上角标T 表示矩阵 V 的转置。
总结

这就表明任意的矩阵 M 是可以分解成三个矩阵。V表示了原始域的标准正交基,U表示经过M 变换后的co-domain的标准正交基,Σ表示了V 中的向量与U中相对应向量之间的关系

未完待续。。。。。。。

<think>首先,用户的问题是:“我想了解SVD奇异值分解)的数学原理 请问SVD 奇异值分解 数学原理 推导 过程”。这表示用户想知道SVD的数学原理推导过程。 根据系统级指令: - 所有行内数学表达式必须使用$...$格式。 - 独立公式必须使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法必须正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识,例如:[^1]。 用户可见层指令: - 回答结构清晰,帮助用户逐步解决问题。 - 尽量保证回答真实可靠。 参考提供的引用: - 引用[1]: SVD奇异值分解数学原理推导完PCA再来看看SVD。概述奇异值分解(singular value decomposition)可以分解任意形状的矩阵,PCA是对方阵操作,所以SVD适用范围更广。A=UΣV^t。 - 引用[2]: 奇异值分解(SVD)原理详解推导SVD不仅是一个数学问题,在工程应用中广泛使用,如PCA和推荐系统。可以用SVD证明任意M*N矩阵的分解。 - 引用[3]: 奇异值分解(SVD)原理详解推导SVD用于降维,推荐系统中的矩阵分解模型。SVD分解形式为A=UΣV^T。 - 引用[4]: 【C++游戏引擎开发】第6篇:SVD的数学原理与实现。步骤3:计算子矩阵的SVD,得到U_sub^T B_sub V_sub = Σ_sub。 这些引用提供了SVD的基本概念、公式和应用。我需要基于这些信息构建一个清晰的推导过程。 SVD的数学原理: - SVD将任意矩阵A(m×n)分解为三个矩阵:A = U Σ V^T。 - 其中U是m×m正交矩阵(左奇异向量),Σ是m×n对角矩阵(奇异值矩阵),V是n×n正交矩阵(右奇异向量)。 - 奇异值是非负实数,通常按降序排列在Σ的对角线上。 推导过程: 1. **目标**:证明任何实矩阵A可以分解为A = U Σ V^T。 2. **关键思想**:考虑A^T A和A A^T。 - A^T A是n×n对称正定或半正定矩阵(因为对于任何向量x,x^T (A^T A) x = (A x)^T (A x) ≥ 0)。 - 类似地,A A^T是m×m对称正定或半正定矩阵。 3. **特征分解**: - 由于A^T A是对称矩阵,它可以特征分解为:A^T A = V Λ V^T,其中V是正交矩阵(特征向量),Λ是对角矩阵(特征值)。 - 特征值λ_i是非负的,因为A^T A是半正定。 - 奇异值σ_i定义为σ_i = √λ_i。 4. **奇异向量**: - 右奇异向量v_i是A^T A的特征向量。 - 左奇异向量u_i定义为u_i = (1/σ_i) A v_i。 5. **构造Σ**: - Σ是m×n对角矩阵,对角线元素是奇异值σ_i。 - 如果m > n,Σ有额外的零行;如果m < n,有额外的零列。 6. **验证分解**: - 证明A V = U Σ。 - 由于V是正交的,A = U Σ V^T。 详细推导步骤: - 计算A^T A的特征值和特征向量。 - 排序特征值降序:λ_1 ≥ λ_2 ≥ ... ≥ λ_r > 0,其中r是A的秩。 - 奇异值σ_i = √λ_i。 - 右奇异向量v_i是A^T A的特征向量。 - 左奇异向量u_i = (1/σ_i) A v_i。 - 对于i > r,奇异值σ_i = 0,u_i可以是零向量或从零空间补全。 - 证明U和V是正交矩阵。 - 然后A = U Σ V^T。 在回答中,我需要使用LaTeX格式: - 行内数学:$A = U \Sigma V^T$ - 独立公式:$$ A = U \Sigma V^T $$ 结构回答: 1. **引言**:介绍SVD是什么,为什么重要。 2. **数学原理**:解释基本公式。 3. **推导过程**:逐步推导SVD。 4. **结论**:总结和可能的应用。 5. **相关问题**:生成相关问题。 生成相关问题: - 基于用户查询,如SVD的应用、优化、实现等。 引用标识: - 在回答中,如果参考了特定部分,添加[^数字],但引用是给定的,我需要自然地融入。 - 引用[1]、[2]、[3]、[4]提供了一些背景,我可以在相关地方提及。 最终回答大纲: 1. SVD定义和概述。 2. SVD的数学公式。 3. 详细推导过程。 4. 简要应用。 5. 相关问题。</think>### SVD奇异值分解)数学原理推导过程 SVD奇异值分解)是一种强大的矩阵分解技术,能将任意实数或复数矩阵分解为三个特定矩阵的乘积。它在降维、推荐系统、图像压缩等领域有广泛应用[^1][^2]。下面我将逐步解释SVD的数学原理推导过程,确保结构清晰、易于理解。推导基于矩阵代数和特征值分解,我会使用LaTeX格式展示所有数学表达式(行内用`$...$`,独立公式用`$$...$$`)。 #### 1. **SVD的基本定义** SVD的核心是将一个$m \times n$矩阵$A$分解为: $$ A = U \Sigma V^T $$ 其中: - $U$ 是 $m \times m$ 的正交矩阵(左奇异向量矩阵),满足 $U^T U = I$。 - $\Sigma$ 是 $m \times n$ 的对角矩阵(奇异值矩阵),对角线元素 $\sigma_i$ 称为奇异值,且 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \cdots \geq \sigma_r > 0$,其余元素为零($r$ 是矩阵$A$的秩)。 - $V$ 是 $n \times n$ 的正交矩阵(右奇异向量矩阵),满足 $V^T V = I$。 SVD适用于任意形状的矩阵(不限于方阵),这使其比PCA(主成分分析)更通用[^1]。奇异值 $\sigma_i$ 反映了矩阵$A$的能量分布,较大的奇异值对应主要特征。 #### 2. **推导SVD的关键步骤** 推导SVD的核心是证明任意矩阵$A$都能分解为上述形式。过程基于对称矩阵的特征值分解,以下是详细步骤。 **步骤 1: 考虑对称矩阵 $A^T A$ 和 $A A^T$** 由于 $A^T A$ 是 $n \times n$ 对称矩阵(且半正定),它可以进行特征分解: $$ A^T A = V \Lambda V^T $$ 其中: - $V$ 是正交矩阵,其列向量 $v_i$ 是 $A^T A$ 的特征向量(称为右奇异向量)。 - $\Lambda$ 是对角矩阵,对角线元素 $\lambda_i$ 是特征值,且 $\lambda_i \geq 0$(因为 $A^T A$ 半正定:对于任意向量 $x$,有 $x^T (A^T A) x = (A x)^T (A x) \geq 0$)。 类似地,$A A^T$ 是 $m \times m$ 对称矩阵,也能特征分解: $$ A A^T = U \tilde{\Lambda} U^T $$ 其中 $U$ 的列向量 $u_i$ 是左奇异向量[^2][^3]。 **步骤 2: 定义奇异值** 奇异值 $\sigma_i$ 定义为特征值 $\lambda_i$ 的平方根: $$ \sigma_i = \sqrt{\lambda_i} $$ 这里 $\lambda_i$ 是 $A^T A$ 的特征值(或等价于 $A A^T$ 的特征值)。奇异值非负,且通常按降序排列:$\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \cdots \geq \sigma_r > 0$,其中 $r = \text{rank}(A)$ 是矩阵的秩[^1]。 **步骤 3: 构造左奇异向量 $u_i$** 右奇异向量 $v_i$ 已从 $A^T A$ 的特征分解获得。左奇异向量 $u_i$ 可以通过 $A v_i$ 归一化得到: $$ u_i = \frac{1}{\sigma_i} A v_i \quad \text{当} \quad \sigma_i > 0 $$ 这确保了 $u_i$ 是单位向量($ \|u_i\| = 1 $),且 $u_i$ 是 $A A^T$ 的特征向量[^2]。 - 当 $\sigma_i = 0$(即 $i > r$),$u_i$ 可以从 $A$ 的左零空间补全,使 $U$ 正交。 **步骤 4: 构建奇异值矩阵 $\Sigma$** $\Sigma$ 是 $m \times n$ 对角矩阵,其对角线元素为奇异值 $\sigma_i$: $$ \Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sigma_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} $$ - 如果 $m > n$,$\Sigma$ 底部添加零行;如果 $m < n$,右侧添加零列,以确保维度匹配。 **步骤 5: 验证分解 $A = U \Sigma V^T$** 现在证明分解成立。考虑 $A V$: $$ A V = A \begin{pmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A v_1 & A v_2 & \cdots & A v_n \end{pmatrix} $$ 由步骤 3,$A v_i = \sigma_i u_i$(当 $\sigma_i > 0$),且当 $\sigma_i = 0$ 时 $A v_i = 0$。因此: $$ A V = \begin{pmatrix} \sigma_1 u_1 & \sigma_2 u_2 & \cdots & \sigma_r u_r & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} $$ 这可以写成矩阵乘法: $$ A V = U \Sigma $$ 其中 $U$ 的列是 $u_i$,$\Sigma$ 包含 $\sigma_i$。 由于 $V$ 正交($V^{-1} = V^T$),两边右乘 $V^T$: $$ A V V^T = U \Sigma V^T \implies A I = U \Sigma V^T \implies A = U \Sigma V^T $$ 证毕[^2][^3]。 #### 3. **推导中的关键点** - **正交性证明**:$U$ 和 $V$ 正交,因为 $u_i$ 和 $v_i$ 分别来自对称矩阵的特征向量。 - **秩与奇异值**:非零奇异值的个数 $r$ 等于矩阵$A$的秩,这体现了SVD的降维能力(仅保留前 $k$ 个奇异值可近似原矩阵)[^3]。 - **唯一性**:奇异值唯一,但 $U$ 和 $V$ 的符号可能不唯一(特征向量方向可选)。 - **数值稳定性**:实际计算中,SVD通过迭代算法(如Jacobi方法)实现,避免直接计算 $A^T A$(可能数值不稳定)[^4]。 #### 4. **SVD的应用简述** SVD在工程中用途广泛: - **降维**:通过截断SVD(保留前 $k$ 个奇异值),近似原矩阵,用于PCA或图像压缩。 - **推荐系统**:分解用户-物品矩阵,预测未评分项(如Netflix竞赛中的应用)[^2][^3]。 - **数值计算**:求解病态方程组或子空间分析。 SVD推导展示了线性代数的优美,将任意矩阵分解为旋转、缩放和再旋转的组合[^1][^4]。如果您有特定矩阵的示例或实现问题,我可以进一步解释。
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