算法导论16章贪心算法习题活动教室分配问题（区间图着色问题）分析详解与代码实现

一、题目

在算法导论第三版的第16章贪心算法的思考题16.1-4中，作者提出了这样一个问题：

二、初步分析与具体案例

看到这个题目，第一时间的想法是用教程中的贪心算法进行循环，但这不是最佳的算法。不仅时间复杂度为O()，且并不能得到最优解。比如对于如下活动：

会得出需要3个教室，活动安排为：

Room1: [1,4), [6,7)

Room2: [2,5)

Room3: [4,8)

而最优解只需2个教室：

Room1: [1,4), [4,8)

Room2: [2,5),[6,7)

具体解释如下，我就不翻译了：

三、正确的解法

那么，正确的解法是什么呢？在网上搜了很多博客，写的不是很明白，有的代码逻辑也不对，因此给出笔者参考各种文章及教程答案后自己的实现。

核心算法一句话概括如下：

对活动按开始时间升序排序，依次迭代；对已安排活动的教室列表按照可用时间创建一个小顶堆，每次有新活动时，判断堆顶的教室是否可用，可用则用，否则开辟一个新教室安排活动，并将该教室加入小顶堆。（也可用优先队列、有序数组实现小顶堆同样的功能）。

第一步：对活动排序

先对所有的活动按照开始时间升序排序。注意，这里和书上教程例子中的按结束时间排序就不同了。这里要用到排序，快排吧，时间成本 .

因为按照正常的思维，我们安排一个活动时，也是看这个活动什么时间开始。结合着下面看。

第二步：安排合适的教室

这一步很关键，并且有几种情况，还要引入新的数据结构小顶堆。

Case 1：安排第一个活动，也即现在所有的教室都是可用的。这时随便选取一个教室即可，然后把这个教室的可用时间更新为该活动的结束时间。

Case 2：安排第 m 个活动，且原来已经有一些教室被安排了活动，假设这些教室组成了列表busy_list。由于题目让求的是最小的教室数量，那么要充分利用已经被安排过活动的教室。因此，这一步的关键在于，将所有被安排过活动的教室的可用时间做升序排序。排在首位的是最早释放的，我们假设该教室的编号为R1。然后和活动m的开始时间相比：

如果m的开始时间大于等于R1的可用时间（也即此时R1的上个活动已结束），则将m安排进R1的活动列表，同时更新R1的可用时间，并重新对 busy_list 按照可用时间做升序排序（这样保证每次总是选到最早释放的教室，让教室空置时间尽量的少）。

如果m的开始时间小于R1的可用时间，由于 busy_list 是按升序排序的，那么其他活动教室当前更不可用。此时，开辟一个新的教室，并将m安排进