【数值计算】数值解析--联立一次方程组：迭代法

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本文介绍了数值解析中的迭代法，包括雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和SOR法。这三种方法用于解决一次方程组，通过迭代计算逐步逼近解。雅可比法要求系数行列式对角占优，高斯-塞德尔法收敛更快，而SOR法通过加速系数可以进一步提高收敛速度。文章提供了各种方法的C++代码实现。

雅可比迭代法

当ls_jacobi.eq1.gif较大时，上一篇介绍的高斯消去法将会非常耗时(ls_jacobi.eq2.gif)。本篇将介绍，通过选取一个合适的初始值，反复迭代计算，逐渐趋近方程组解的方法，称之为迭代法。下文将对最基本的迭代法—雅可比(Jacobi)迭代法进行讲解。

假设有如下所示3元联立方程组：

ls_jacobi.eq3.gif

若系数行列的对角成分ls_jacobi.eq4.gif，则可知

ls_jacobi.eq5.gif

把 ls_jacobi.eq6.gif设为初始值，按照上式依次计算ls_jacobi.eq7.gif。 当ls_jacobi.eq8.gifls_jacobi.eq8.gif足够大时，ls_jacobi.eq9.gif逐渐向解收敛。当方程组为n元联立1次方程组时，解表示如下

ls_jacobi.eq10.gif

其中，ls_jacobi.eq11.gif。

以上求解的方法便是雅可比迭代法。通过对比ls_jacobi.eq9.gif和

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【计算方法】迭代法（线性方程组求解）
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Chapter 1 误差理论
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