【CG物理模拟系列】流体模拟--粒子法之SPH（理论）

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本文深入探讨了流体模拟中的SPH（Smoothed Particle Hydrodynamics）方法，包括粘性扩散项和圧力项的理论阐述。通过引用多篇权威文献，如Becker2007、Desbrun1996和Muller2003等，为读者提供了一种理解高度压缩性SPH用于自由表面流的基础。

SPH法介绍


SPH(Smoothed Particle Hydrodynamics)是早年银河系碰撞，天体形成等宇宙物理学模拟所使用的方法[Lucy1977]，近年来被应用到流体，热等其他现象处理中。但是，由于是曾经宇宙物理学中常产生的压缩性流体问题的处理方法，并不适用于像水和流速较慢的空气(流速<<音速)这样的非压缩性流体 (强行转换非压缩性的研究近年来也有很多[Becker2007,Solenthaler2009])。

[Desbrun1996]将SPH法第一次应用于CG领域， 此后[Muller2003]将其改进，使其也能适用于3次元的粘性流体。 以下，主要对[Muller2003]的方法进行详细介绍。
SPH法的离散化方程

SPH法中的物理量 sph_eq_phi.gif的离散化方程如下所示。
sph_eq_01.gif

这里，N是临近粒子的集合，m是粒子质量，sph_eq_rho.gif是粒子密度， W是kernel方程。内核方程的有效半径是h，有效半径外值为0(Compact Support )。 同时，它的积分设定为1(sph_eq_02.gif)

根据上述方程，通过周围粒子的权重相加和来近似计算物理量。 另外，物理量的梯度sph_eq_nabla_phi.gif可以使用内核函数的导数来表示。  物理量sph_eq_phi.gif的梯度公式为，
sph_eq_05.gif

物理量sph_eq_phi.gif的laplacian算子为，
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