力扣记录：动态规划2背包问题(1)01背包——416 分割等和子集，1049 最后一块石头的重量II，494 目标和，474 一和零

本文详细解析了动态规划中的01背包问题，包括416分割等和子集、1049最后一块石头的重量II、494目标和和474一和零等题目的解题思路，主要使用二维DP数组和一维滚动数组的方法进行求解，阐述了如何通过递推公式找出最优解。

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本次题目

416 分割等和子集
1049 最后一块石头的重量II
494 目标和
474 一和零

01背包

01背包：容量为w的背包，n个物品，第i件物品的重量为weight[i]，价值为value[i]，每个物品只能装一次，求装哪些物品总价值最大。
二维dp数组01背包：
1. 定义dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少；
2. 递推公式当背包还能装下第i件物品时，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])；
3. 初始化dp[i][0] = 0，当背包容量j小于第0件物品重量weight[0]时，dp[0][j] = 0，否则dp[0][j] = value[0]；
4. 遍历顺序由小到大，这里先遍历物品再遍历背包；
5. 举例。
一维滚动数组01背包：
1. 定义一维数组d[j]表示上一层（i - 1）拷贝到当前层（i），即到物品i时放进容量为j的背包的最大总价值；
2. 递推公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])；
3. 物品由小到大，背包由大到小（由于上层覆盖当前层，防止同一物品被放多次）；
4. 遍历顺序只能先物品再背包；
5. 举例。建议使用一维滚动数组。

416 分割等和子集

01背包DP：
1. 定义dp[j]表示容量为j的背包，放入的数之和最大为dp[j]，长度为目标和加1；
2. 递推公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])；
3. 初始化为全0（比物品价值小）；
4. 遍历顺序先遍历物品（由小到大）再遍历背包（由大到小）；
5. 举例。

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int leng = nums.length;
        //判断特殊情况
        if(leng == 1) return false;
        //求目标值
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < leng; i++){
            sum += nums[i];
        }
        //不是偶数返回false
        if(sum % 2 == 1) return false;
        int target = sum / 2;
        //定义dp[j]表示容量为j的背包，放入的数之和最大为dp[j]
        //长度为目标和加1
        //初始化全0
        int[] dp = new int[target + 1];
        //遍历顺序先遍历物品（由小到大）再遍历背包（由大到小）
        for(int i = 0; i < leng; i++){
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        //返回结果
        return dp[target] == target;
    }
}

1049 最后一块石头的重量II

同上416 分割等和子集，将物品换位石头，还是将石头分为重量相同的两堆。
1. 定义dp[j]表示容量为j的背包最多可以背重量为dp[j]的石头；
2. 递推公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])；
3. 将dp[0]初始化为0，长度为最大重量的一半；
4. 遍历顺序先遍历物品（由小到大）再遍历背包（由大到小）；
5. 举例。
注意：取目标重量时向下取整，所以dp数组得到的重量较小。

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        //判断特殊情况
        int leng = stones.length;
        if(leng == 1) return stones[0];
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < leng; i++){
            sum += stones[i];
        }
        int target = sum / 2;
        //定义dp[j]表示容量为j的背包最多可以背重量为dp[j]的石头
        //将dp[0]初始化为0，长度为最大重量的一半
        int[] dp = new int[target + 1];
        //遍历顺序先遍历物品（由小到大）再遍历背包（由大到小）
        for(int i = 0; i < leng; i++){
            for(int j = target; j >= stones[i]; j--){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
            }
        }
        //返回结果
        return sum - 2 * dp[target];
    }
}

494 目标和

01背包DP（组合）：
1. 定义dp数组表示容量为j的背包装加法装满有dp[j]种方法；
2. 递推公式dp[j] += dp[j - nums[i]]；
3. 初始化dp[0] = 1，长度为目标值加数组之和除以2（加1）；
4. 遍历顺序先物品（由小到大）再背包（由大到小）；
5. 举例。
注意：当目标数与数组之和不能被2整除时无结果。

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        //定义dp数组表示容量为j的背包装加法装满有dp[j]种方法
        int sum = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++) sum += nums[i];
        //当目标数与数组之和不能被2整除时无结果。
        if((sum + target) % 2 != 0) return 0;
        int t = (sum + target) / 2;
        //目标小于0时反过来
        if(t < 0) t = -t;
        int[] dp = new int[t + 1];
        //初始化dp[0] = 1
        dp[0] = 1;
        //遍历顺序先物品（由小到大）再背包（由大到小）
        for(int i = 0; i < nums.length; i++){
            for(int j = t; j >= nums[i]; j--){
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        //返回结果
        return dp[t];
    }
}

474 一和零

01背包DP：
1. 定义dp[i][j]表示：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]；
2. 递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1)；
3. 初始化dp[0] = 0；
4. 遍历顺序先物品（由小到大）再背包（二维，由大到小）；
5. 举例。

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        //定义dp[i][j]表示：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        //统计字符串种0和1个数
        for(String str : strs){
            int zeroNum = 0;
            int oneNum = 0;
            char[] s_arr = str.toCharArray();
            for(char s : s_arr){
                if(s == '1'){
                    oneNum += 1;
                }else{
                    zeroNum += 1;
                }
            }
            //遍历顺序先物品（由小到大）再背包（二维，由大到小）
            for(int i = m; i >= zeroNum; i--){
                for(int j = n; j >= oneNum; j--){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        //返回结果
        return dp[m][n];
    }
}