【暑假集训】之被ACM金牌大神虐的第二天之图论篇

【感想1】：今天是ACM金牌大神来讲的第二天，话说第一天的内容都还没写完。。QAQ，不过还是先写今天的吧。。。

Electricity 2(Gym 100345C)

给出一个简单无向图G，对于图G上的任意一个点P，设N(P)为和P直接相邻的点的集合。对于任意的v,w属于N(P)，都存在一条从v到w只经过N(P)上点的路径。问是否存在一种只用3种颜色的染色方案，使得每条边两端点颜色不同？

【思路】：

考虑任意一个点P，和他相邻的点至少要构成一颗树。考虑新加一个点Q，首先Q与P相连，Q必然至少还要和N(P)中的一个点相连，我们设与Q相连的那个点为T，假设我们已经染好了一部分图的颜色。这时候来了一个点Q，Q按照上面的分析，Q至少和两个点相连，即P和T。又因为P，T原本相连。所以P和T必然具有两种不同的颜色。Q的颜色唯一确定，实现的时候，我们优先找邻点有两个颜色的点，把他们染色，实在找不到就找邻点只有一个颜色的点，随便把他染成一个合法颜色，如果还没有，就找邻点没有颜色的，然后随便染一个。（PS.这里还提到过二分图，是只染两种色的情况，不太懂，下来要去找资料），

【代码】：代码依旧没时间实现。。

图上删点

给出一个无向图，有n个点，每个点都有一个权值。有一些操作，每次操作删除图上所有权值小于一个数的点。对于每次操作，询问当前和1号点联通的点有多少个。

【思路】：

首先，我们可以考虑图可能的形态有n种，我们可以预处理出每种形态下与1联通的点有多少个（怎么预处理，大神求教啊），首先读入点，把点按权值保存，按权值顺序加入图中，（这样真的可以么），用并查集维护当前和1号点联通的点的个数。对于每次询问，找出之前所有询问中删除的最大权值。找到对应的状态，输出答案。

【代码】：首先没时间，其次没太懂。。。

Jzzhu and Cities(CF449B)

一个国家有n座城市，其中1号城市是首都。

这个国家有m条无向道路，每条道路有一个权重。

这个国家还有K条火车线路，每条从1到一个其它城市，每条道路有一个相应的权重。

现在我们想删除尽可能多的火车线路，使得从1到其他城市最短路不变。

【思路】：

首先这道题，要找出到每个城市的最小值，之后我们就来判断一下火车道路是否能够删除，由于这条火车道是由1到某个节点的，所以我们只需要判断这个节点到1的最短路是不是从必须要从火车道经过，如果不是，就可以删除，那么我们随便考虑一个节点i，此时我们已经知道了此时的最短距离是dis[i]，与i相连的节点v中，如果dis[i] = dis[v] + e[i].w；那么我们可以知道，这个点是由v这个点转移来的，并不是火车车道（即使这个点与1直接相连也没关系，因为1.这条边比火车车道短。那么dis[i] = e[i].w,dis[1] = 0，所以满足情况，2.一样长，那么同1，这条火车道也能删，3.比火车车道长，那么就不满足上述的删除边的条件，所以此车道不能删），那么怎么枚举呢？对于每一个点，我们观察这个点能不能不用那条火车线路达到最短路。我们只要枚举非火车线路的边。假设这点是u，边的另一边是v，边的权重是w。用d[i]表示从1到i的最短路。只需要检查d[v]+w=d[u]即可。这要有一条边使得这个等式成立，我们就可以删掉和u关联的所有火车线路。

【代码】：。。。。。。。。。。。。。。

Exploration（HDU5222）

给出一张既有有向边又有无向边的混合图，问是否存在一条从1到1，且每个点至少经过一次的路径？？（不过好像大神把题记错了于是我们来一个网上找的）直接按照样例来说：有t组数据，每组数据有n,m1,m2,n代表有n个点，m1代表有m1条无向边，m2代表有有m2条有向边，一条边只能走一次（也就是题上说的走过之后路会坍塌）如果有两个1 2 ，1 2 代表1和2之间有两条边

首先对于所有的无向边，我们使用并查集将两边的点并起来
若一条边未合并之前，两端的点已经处于同一个集合了，那么说明必定存在可行的环（因为这两个点处于同一个并查集集合中，那么它们之间至少存在一条路径）
如果上一步没有判断出环，那么仅靠无向边是找不到环的
考虑到，处于同一个并查集集合中的点之间必定存在一条路径互达，因此将一个集合的点合并之后，原问题等价于在新生成的有向图中是否有环
我们知道，有向无环图必定存在拓扑序，因此只需使用拓扑排序判定即可
时间复杂度O(N+M1+M2) 

 可是为什么大神思维总是那么复杂，为什么不能把无向边赋为双向有向边，这样子再来一个判重就对了~~~~不知道是不是这个办法不可行，有待考证。。。。

Tricks Device(HDU5294)

给出一个n个点m条边的无向图，在不改变1到n的最短路的情况下，最多能删除多少条边？【注，此题相对原题删了第二小问】

【思路】：

刚开始一看这道题很简单，只要跑一遍最短路，记录路径，然后把不在路径上的边删除就是了嘛，然而这样在数据弱的情况下有可能骗到分，为什么说是错的呢，可以看图：

图中有两条最短路，1-2-3-4和1-4，显然1-4更优，那么我们在求最短路时怎么判断呢，显然不好判断（当然你足够强的话也许可以写），这里有两种思路：

一：

我们将边权乘以一个极大值m，再加1，这样并不改变结果，但这样我们就能判断出最优的走法，这样的话在求上图的最短路时就是3*m+3和3*m+1来比较，就可以选出最优的了。

二：

这个是大神给的正解：

先预处理出从1到所有点的最短路以及从n到所有点的最短路。我们要处理出一个DAG(有向无环图），使得在这个图上所有从1到n的路径都是一条从1到n的最短路。处理方法如下，用d1[i]表示1到i的最短路，用d2[i]表示i到n的最短路。对于一条边从u到v权为w。如果：d1[u]+w+d2[v]=d1[n]就把它加入到这个DAG中，求出DAG后将DAG中的边权都设为1，那么我们再求一次最短路，由于边权设为了1，那么最短路的值就是必须的边数，用总边数-这个值就是我们要的答案。

【代码】：不要想了。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

Gas Transportation(Gym100492G)

有一个运输天然气的管道系统。这个系统可以视为一个无向图。每条边每个月可以运输1个单位的天然气。

每一条边都有一个拥有者，对于第i条边，这个拥有者会得到每月wi的报酬。

这市场上，每运送1单位的天然气，就能得到c的报酬。如果存在一个边的集合。只用这个集合的边就能从1到n运送f的天然气。如果cf严格大于这些边的权值之和，那么这些边的拥有者就会从这个集合中独立出来。

问存不存在这样的边集合，如果存在输出任意一个这样的集合。

【思路】：

其实这道题是这里面最简单的一道题！！！！然而我们还是被坑了好久，因为什么呢，我们在担心假如一个集合不能独立，另一个集合也不能独立，但这两个集合合起来就能独立怎么办？然而这种担心是多余的，为什么呢？我们考虑这种情况：首先一个集合不能独立，那么cf1 <= wi1 + wi2 + wi3 + ..... + wi;同理，第二个集合cf2 <= wj1 + wj2  +wj3 + ..... + wj，以下若还有其他集合同理，根据不等式的性质：cf1 + cf2 <= wi1 + wi2 +wj1 + wj2 + ...... + wi + wj，也就是说，如果一个集合不独立，那么他和任意多的不能独立的集合联合起来也不能独立，于是问题就变成了直接求最短路的问题了，然后输出路径就可以了。。

【代码】：总算遇到自己能写的一道题了，然而还是没时间。。。话说我连这道题都搜不到好不好！！！！！！

【感想2】：这才只把第二天的图论整理完，还有第一天的dp和线段树，今天还有dp的优化，天哪，好多事啊！！！