吴恩达深度学习--2.浅层神经网络

1.看了浅层神经网络和深层神经网络，两种一块整理了一下。
2.正向传播和反向传播的具体计算过程看了一篇博客
3.吴恩达深度学习的第二周课后作业做了一半。

首先，从整体上来说，神经网络只是比逻辑回归多了一层中间的隐藏层，与逻辑回归计算一致，只是重复了两次。

第一层：从输入层到隐藏层：

$$z^{[1]}=W^{[1]}x+b^{[1]}$$

$$a^{[1]}=\sigma (z^{[1]})$$

第二层：从隐藏层到输出层

$$z^{[2]}=a^{[1]}x+b^{[2]}$$

$$a^{[2]}=\sigma (z^{[2]})$$

方括号上标[i]表示当前所处的层数,圆括号上标(i)表示第i个样本

通常输入层记为第0层，所以单隐层神经网络也记为两层神经网络

关于隐藏层对应的权重和常数项b:
第i层的w的行为该层神经元个数，列为上层神经元个数
第i层的b的行为该层神经元个数，列始终为1

接下来开始详细推导神经网络计算过程：

首先是单个样本：

$$z^{[1]}=W^{[1]}x+b^{[1]}$$

$$a^{[1]}=\sigma (z^{[1]})$$

$$z^{[2]}=W^{[2]}{a}^{[1]}+b^{[2]}$$

$$a^{[2]}=\sigma (z^{[2]})$$
其中$W^{[1]}$为：
$$W^{[1]}=\left[\begin{array}{c}{W}_1^{[1]T}\\ W_2^{[1]T}\\ W_3^{[1]T}\\ W_4^{[1]T}\end{array}\right]$$
$a^{[1]}$为:
$$a^{[1]}=\left[\begin{array}{c}{a}_1^{[1]}\\ a_2^{[1]}\\ a_3^{[1]}\\ a_4^{[1]}\end{array}\right]$$

如果是m个样本：
使用for循环求解正向输出:
for i = 1 to m:
$z^{[1](i)}=W^{[1]}{x}^{(i)}+b^{[1]}$
$a^{[1](i)}=\sigma (z^{[1](i)})$
$z^{[2](i)}=W^{[2]}{x}^{(i)}+b^{[2}$
$a^{[2](i)}=\sigma (z^{[2](i)})$

使用矩阵的话：
$$Z^{[1]}=W^{[1]}X+b^{[1]}$$

$$A^{[1]}=\sigma (Z^{[1]})$$

$$Z^{[2]}=W^{[2]}{A}^{[1]}+b^{[2]}$$

$$A^{[2]}=\sigma (Z^{[2]})$$

X的维度为(n,m),$Z^{[1]}$的维度为(4,m),4为隐藏神经元个数。
$A^{[1]}$的维度与$Z^{[1]}$相同；$Z^{[2]}$和$A^{[2]}$的维度均为（1,m）。对上面这四个矩阵来说，均可以这样来理解：行表示神经元个数，列表示样本数目m。

激活函数：

sigmoid函数和tanh函数比较：
对于隐藏层的激活函数，一般来说，tanh函数要比sigmoid函数表现更好一些。因为tanh函数的取值范围在[-1,+1]之间，隐藏层的输出被限定在[-1,+1]之间，可以看成是在0值附近分布，均值为0。这样从隐藏层到输出层，数据起到了归一化（均值为0）的效果。
因此，隐藏层的激活函数，tanh比sigmoid更好一些。而对于输出层的激活函数，因为二分类问题的输出取值为{0,+1}，所以一般会选择sigmoid作为激活函数。
缺点：当x很大时，梯度会很小，梯度下降算法效率很低。
解决：出现了ReLu函数：Z大于0时梯度始终为1，缺点是小于0时梯度为0，但实际中影响不是都很大。

总结：一般会使用ReLu函数作为激活函数

为什么需要非线性的激活函数：
如果采用线性激活函数，事实上神经网络与直接使用线性模型并无差别。即便是包含多层隐藏层的神经网络，最终的输出仍然是输入x的线性模型。这样的话神经网络就没有任何作用了。
如果隐藏层使用线性激活函数，而输出层使用非线性激活函数，那么将与逻辑回归模型一样，失去了多层神经网络的意义。

随机初始化
神经元的权重w不可以全部初始化为0，因为这样会使每个神经元都会有相同的结果，设置多个隐藏层将毫无意义。
应该随机初始化为很小的数。
之所以初始化为很小的数是因为在使用sigmoid函数或tanh激活函数时梯度较大，可以更快达到全局最优解。

反向传播计算过程参考博客：
https://blog.youkuaiyun.com/ft_sunshine/article/details/90221691