线性方程组与矩阵

最新推荐文章于 2022-09-05 16:12:45 发布

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分类专栏：线性代数-基础文章标签：数学

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这篇博客深入探讨了线性方程组的概念，通过矩阵理论进行解析，阐述了解决线性问题的关键方法，包括高斯消元法和矩阵运算在解决这类问题中的应用。

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通常，我们把有这种形式的方程：

a 1 x 1 + a 2 x 2 + \dots + a n x n = b

${ a }_{ 1 }{ x }_{ 1 }+{ a }_{ 2 }{ x }_{ 2 }+\cdots +{ a }_{ n }{ x }_{ n }=b$ 叫做一个n元的线性方程.（这里我们只讨论复数域的情况）
而线性方程组（线性系统）是一个或多个含相同变量的线性方程的集合，例如

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a 11 x 1 + a 12 x 2 + \dots + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + \dots + a 2 n x n = b 2 ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + \dots + a m n x n = b n

$\begin{cases} { a }_{ 11 }{ x }_{ 1 }\quad +{ a }_{ 12 }{ x }_{ 2 }\quad +\cdots +\quad { a }_{ 1n }{ x }_{ n }\quad ={ b }_{ 1 } \\ { a }_{ 21 }{ x }_{ 1 }\quad +{ a }_{ 22 }{ x }_{ 2 }\quad +\cdots +\quad { a }_{ 2n }{ x }_{ n }\quad ={ b }_{ 2 } \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \qquad \vdots \\ { a }_{ m1 }{ x }_{ 1 }\quad +{ a }_{ m2 }{ x }_{ 2 }+\cdots +{ \quad a }_{ mn }{ x }_{ n }\quad ={ b }_{ n } \end{cases}$ 是一个含m个方程的n元线性方程组.
对于这样的方程组，用“矩阵”来存储方程组中的系数：

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 a 21 ⋮ a m 1 a 12 a 22 ⋮ a m 2 \dots \dots \dots a 1 n a 2 n ⋮ a m n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$\begin{bmatrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & \cdots & { a }_{ 1n } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & \cdots & { a }_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ { a }_{ m1 } & { a }_{ m2 } & \cdots & { a }_{ mn } \end{bmatrix}$
这样，上面的矩阵称为m×n矩阵.注意，一个矩阵中存储的不只是其中的“数”，同时也存储了各个数的“位置”.
其中，我们把只有一列（或只有一行）数的矩阵称为列（行）向量：

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ b 1 b 2 ⋮ b n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 和 [c 1 c 2 \dots c n]

$\begin{bmatrix} { b }_{ 1 } \\ { b }_{ 2 } \\ \vdots \\ { b }_{ n } \end{bmatrix}和\begin{bmatrix} { c }_{ 1 } & { c }_{ 2 } & \cdots & { c }_{ n } \end{bmatrix}$ 如果两个矩阵中元素的的行数和列数相同，则称为同型矩阵.
这样，当且仅当两个同型矩阵中对应位置的元素相等时，两个矩阵相等.