欧拉路走完所有的边。

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题目的要求就是要你走完所有的边。

一个无向图存在欧拉路当且仅当该图是连通的且有且只有2个点的度数是奇数,此时这两个点只能作为欧拉路径的起点和终点。

然后找到起点,从该店遍历所有的边,如果一条边使用过了,就把这条边给标记了就行了。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1001;
const int M=10001;

int pnt[M],head[M],nxt[M],use[M],e=0;
int in[N];
int num[M],cnt=0;

void AddEdge(int u,int v)
{
    pnt[e]=v;
    nxt[e]=head[u];
    head[u]=e++;
}
void dfs(int u)
{
    for(int i=head[u]; i!=-1; i=nxt[i])
    {
        int v=pnt[i];
        if(!use[i])
        {
            use[i]=1;
            use[i^1]=1;
            dfs(v);
        }
    }
    num[cnt++]=u;
}
int main()
{
    memset(use,0,sizeof(use));
    memset(in,0,sizeof(in));
    memset(head,-1,sizeof(head));
    e=0;
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0; i<m; i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        AddEdge(u,v);
        AddEdge(v,u);
        in[u]++;
        in[v]++;
    }
    int t=1;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(in[i]%2)
        {
            t=i;
            break;
        }
    dfs(t);
    for(int i=cnt-1; i>=0; i--)
        printf("%d%c",num[i],i==0?'\n':' ');
    return 0;
}


### 欧拉路径与欧拉回路的定义 在图论中,欧拉路径是指能够不重复地遍历图中所有的路径。如果该路径的起点和终点相同,则称为欧拉回路。换句话说,欧拉路径是一条“一笔画”路径,可以不重复地走完图中的所有[^2]。 ### 判断欧拉路径与欧拉回路的存在性 在无向图中,欧拉路径存在的充要条件是图中恰好有两个顶点的度数为奇数,其余顶点的度数均为偶数;而欧拉回路存在的充要条件是图中所有顶点的度数均为偶数。对于有向图,欧拉路径存在的条件是:最多一个顶点的出度比入度大1,最多一个顶点的入度比出度大1,其余顶点的入度等于出度;而欧拉回路存在的条件是所有顶点的入度等于出度[^2]。 ### 寻找欧拉路径或欧拉回路的算法 寻找欧拉路径或欧拉回路通常使用Hierholzer算法,该算法与深度优先搜索(DFS)类似。算法的核心思想是从一个起点出发,尽可能多地遍历图中的,并在无法继续前进时将当前顶点加入结果栈。最终,结果栈中的顶点序列即为所求的欧拉路径或欧拉回路[^3]。 ### 实现字典序最小的欧拉路径或欧拉回路 为了确保输出的路径是字典序最小的,可以在每次选择下一个要访问的顶点时,优先选择编号最小的邻接顶点。具体实现时,可以使用优先队列(如最小堆)来维护邻接表中的邻接顶点,以确保每次都能选择字典序最小的顶点。 以下是一个实现字典序最小的欧拉路径或欧拉回路的示例代码: ```python import heapq def find_eulerian_path_or_circuit(graph, start_node): # 构建邻接表,并统计每个顶点的入度和出度 adj = {} in_degree = {} out_degree = {} for u, v_list in graph.items(): for v in v_list: if u not in adj: adj[u] = [] if v not in adj: adj[v] = [] heapq.heappush(adj[u], v) # 使用最小堆维护邻接顶点,确保字典序最小 out_degree[u] = out_degree.get(u, 0) + 1 in_degree[v] = in_degree.get(v, 0) + 1 # 判断是否存在欧拉路径或欧拉回路 odd_nodes = [node for node in adj if (out_degree.get(node, 0) - in_degree.get(node, 0)) != 0] if len(odd_nodes) == 0: print("存在欧拉回路") elif len(odd_nodes) == 2: print("存在欧拉路径") else: print("不存在欧拉路径或欧拉回路") return [] # Hierholzer算法实现 def hierholzer(start): stack = [start] path = [] while stack: current = stack[-1] if adj[current]: next_node = heapq.heappop(adj[current]) # 选择字典序最小的邻接顶点 stack.append(next_node) else: path.append(stack.pop()) return path[::-1] # 调用Hierholzer算法 result = hierholzer(start_node) return result # 示例图 graph = { 1: [2, 3], 2: [3, 4], 3: [4, 1], 4: [] } start_node = 1 eulerian_path = find_eulerian_path_or_circuit(graph, start_node) print("字典序最小的欧拉路径或欧拉回路:", eulerian_path) ``` ### 时间复杂度分析 在最坏情况下,例如图中只有一个顶点但有 $ m $ 条自环的情况下,Hierholzer算法的时间复杂度可能会达到 $ O(m^2) $,因为每次都需要遍历 $ m $ 条是否可走。然而,在大多数情况下,该算法的时间复杂度为 $ O(m) $ 或 $ O(m \log n) $,其中 $ m $ 是的数量,$ n $ 是顶点的数量[^1]。 ###
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