【计算机组成原理】第2章运算方法和运算器_设由sem三个域组成的一个32位二进制-优快云博客

本文详细介绍了计算机中数据的表示方法，包括定点数（纯小数和纯整数）、浮点数（IEEE754标准）、字符与字符串、汉字表示以及校验码。此外，还讲解了补码加法、减法运算，以及定点运算器的逻辑运算和浮点运算器的工作原理。内容涵盖了数据的机器码表示，如原码、反码、补码和移码，以及浮点数的加减运算步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

2.1 数据与文字的表示方法

2.1.1 数据样式

在选择计算机的表示方法时，要考虑
1. 数的类型（小数，整数，实数和复数）
2. 数值范围
3. 数值精确度
4. 数据存储和处理所需的硬件代价

计算机中常用的数据表示格式：1. 定点格式；2. 浮点格式
定点格式：数据范围有限，要求的处理硬件比较简单
浮点格式：数据范围较大，要求的处理硬件比较复杂

1.定点数的表示方法：

参与运算的数的小数点位置固定不变。

$X_n$	$\ X_{n-1}\ ...\ X_1\ X_0$
符号	量值（尾数）

纯小数：

小数点在 $X_n$ 和 $X_{n-1}$ 之间。
小数点固定在最高位之后称为定点小数。若机器字长为n+1位，数值表示为：
$X=X_n.X_{n-1}\ ...\ X_1\ X_0$ ，其中 $Xi={0,1},0≤i≤n$ （这里 $X_n$ 不表示数字，只表示符号，若 $X_n=0$ ，则代表 $X=0.\ X_{n-1}\ ...\ X_1\ X_0$ ， $X_n$ =1，则代表 $-0.\ X_{n-1}\ ...\ X_1\ X_0$ 。
例如：1111表示-0.875
绝对值最小：各位均为0， $|X|_{min} = 0$ ;
绝对值最大：各位均为1， $|X|_{max} = 1 - 2^{-n}$ ;

纯整数：

小数点在X0右边。
绝对值最小：各位均为0， $|X|_{min} = 0$ ;
绝对值最大：各位均为1， $|X|_{max} = 2^n - 1$ ;
PS:
0.1111111 = 1.0000000 - 0.0000001 = 1 - $2^{-7}$ ;
0 1111111 = 1 0000000 - 1 = $2^7$ - 1;

2.浮点数的表示方法：

任意十进制 $N$ 可以写成 $N = 10^E.M$
任意二进制 $N$ 可以写成 $N = 2^e.M$
- $M$ 为浮点数的尾数，是一个纯小数
- $e$ 是比例因子的指数，称为浮点数的指数，是一个整数

IEEE754标准

$S$	$E$	$M$
31(1)	30———23(8)	22———0(23)

- $S$ 是符号位，占1位， $S$ = 0表示正数， $S$ = 1表示负数。
- $E$ 是阶码，占用8位；阶码采用移码方法来表示正负指数。
指数真值变成阶码 $E$ 时， $e + 127 = E$ .
当尾数的值不为0时，尾数域的最高位应为1，这称为浮点数的规格化表示。否则以修改阶码的同时左右移动小数点位置的方法，使其变成规格化数形式。
32位浮点数x的真值表示：
$x = (-1)^S \times(1.M) \times2^{\ E-127}$ ;
$e + 127 = E$ .
其中尾数域所表示的值是 $1.M$ 。由于规格化的浮点数的尾数域最左位（最高有效位）总是1，故这一位经常不予存储，而认为隐藏在小数点的左边。于是23位字段可以存储有效数。

例1：(754标准转化10进制)
若浮点数x的754标准存储格式为 $(41360000)_{16}$ ，求其浮点数的十进制数值。
将16进制转化成二进制：

$S$ 符号位	$E$ 阶码	$M$ 尾数
0	100 0001 0	011 0110 0000 0000 0000 0000
31(1)	30———23(8)	22———0(23)

指数 e = 阶码 - 127=10000010 - 00000011 = $(3)_{10}$
包括隐藏位1的尾数 $1.M$ = 1.011 0110 0000 0000 0000 0000 = 1.011011
$x = (-1)^S \times(1.M) \times2^{\ e} = +(1.011011) \times 2^3$ = +1011.011 = $(11.375)_{10}$
例2：(10进制转化754标准)
将数 $(20.59375)_{10}$ 转换成754标准的32位浮点数的二进制存储格式。
1.转化成二进制：20.59375=10100.10011
2.规格化表示：10100.10011=1.010010011 $\times2^4$ $e=4$
3.得符号位S=0,阶码E=4+127=131=10000011，M=010010011
解得：

$S$ 符号位	$E$ 阶码	$M$ 尾数
0	100 0001 1	010 0100 1100 0000 0000 0000
31(1)	30———23(8)	22———0(23)

3.十进制数串的表示方法：

1). 字符串形式：即一个字节存放一个十进制的数位或符号位。主要用于非数值计算的应用领域中。
2). 压缩的十进制数串形式：即一个字节存放两个十进制的数位。节约空间，便于直接完成十进制数的算术运算，是广泛采用的较为理想的方法。每个数位占用半个字节（即4个二进制为）

2.1.2 数的机器码表示

把符号位和数值位一起来编码来表示相应数的各种表示方法，如原码，补码，反码，移码。
一般书写表示的数称为真值，机器中这些编码表示的数，称为机器码或者机器数。

1. 原码表示法

若定点整数的原码形式为 $X_n.X_{n-1}\ ...\ X_1\ X_0$ $(X_n为符号位)$ ，则原码的定义为：
$[x]_原 =\begin{cases}x, & \text{$2^n>x\ge0$ } \\2^n-x=2^n+|x|, & \text{$0 \ge x>-2^n$}\end{cases}$
$[x]_原$ 是机器数， $x$ 是真值。
其实就是正数&&0的真值保持不变，真值为负数的原码在最左边（ $X_n$ ）添1，这样一看，定义那个式子不就满足了。

例： $x=-1001$ , 则原码 $[x]_原=11001<=2^4-(-x)$

2.反码表示法

简单：
正数的反码就是原码.
负数的反码就是原码的符号位不变，然后其余位上全部取反（0->1/1->0）.

3. 补码表示法

补码和真值的关系：

设一个二进制整数补码有 $n+1$ 位（含1位符号位 $x_n$ ）,即：

$[x]_补=x_n.x_{n-1}\ ...\ x_1\ x_0$

1.当 $x$ 为正整数的时候，

$x = \sum_{i=0}^{n-1} 2^ix_i=0x_{n-1}\ ...\ x_1\ x_0$

2.当 $x$ 为负整数的时候，

$x = -2^nx_n+\sum_{i=0}^{n-1} 2^ix_i=1x_{n-1}\ ...\ x_1\ x_0$

3.当 $x$ 为0的时候

$[x]_补=[+0]_补=[-0]_补=0$

则其补码表示的真值为[推荐补码记个公式]

$x = -2^nx_n+\sum_{i=0}^{n-1} 2^ix_i$

例一：

已知 $[x]_补=01001$ ，求 $x=$
$x=0\times 2^4 + 1\times 2^3 + 0\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0=9$

例二：

已知 $[x]_补=11001$ ，求 $x=$
$x=-1\times 2^4 + 1\times 2^3 + 0\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0=-7$

原码转补码：

1.一个正整数，都一样
2.一个负整数，1）原码符号位不变，整数的每一位二进制求反得到反码。2）反码符号位不变，反码最低位+1，得到补码。

So, 正数的原、反、补码都一样：0的原码跟反码都有两个，因为这里0被分为+0和-0。

4. 移码表示法

移码通常用于表示浮点数的阶码。
由于阶码是个k的整数，假定定点整数移码形式为 $e_ke_{k-1}···e2e1e0$ （最高位为符号位）时，移码的传统定义为

$[e]_移\ =\ 2^k\ +\ e$
$[e]_移为机器数，e为真值，2^k是一个固定的偏移值常数$

举例：

阶码数值部分是5，以 $e$ 表示真值，则 $[e]_移\ =\ 2^5\ +\ e$
So:

当正数 $e = +10101$ ，时， $[e]_移=1，10101$ ；
当负数 $e = -10101$ ，时， $[e]_移=\ 2^5\ +\ e=2^5\ -\ 1，10101=0，01011$ ；

搞到这里真的要亲切愉快地说一下，原码，反码，补码，移码的基本姿势，讲完惹！！！
现在来讨论一下，对于机器字长为 $n$ 位，定点表示，尾数 $n-1$ 位，【对于由原码，反码，补码表示时】，符号位1位的数值范围或说一下最大整数和最大负数
1.原码：
很简单啊，
最大值，正数的话全是1（除了符号位）： $0...11111=2^n-1$
最小值，还是全是1然后添个负号呗： $1...11111=-(2^n-1)$
2.反码：
正数的原码和反码一样： $0...11111=2^n-1$
负数还是类似与原码： $1...00000=-(2^n-1)$
3.补码：
还记得补码和真值的关系嘛？
就是符号位是减( $-2^n$ )，其余位都是加( $+2^k$ )
那么显然的：
正数的话，符号位不要减，其他都加了： $0...11111=2^n-1$
负数的话，符号位要减，其他都不要加： $1...00000=-2^n$ 【哇，好神奇啊】

IEEE754标准：
32位浮点数x的真值表示：
$x = (-1)^S \times(1.M) \times2^{\ E-127}$ ;
$e + 127 = E$ .
例【9】：
假设由S,E,M三个域组成的一个32位二进制数所表示的非零规格化浮点数x，真值表示为（注意此例不是IEEE格式见上）
$x = (-1)^S \times(1.M) \times2^{\ E-128}$ ;

$S$ 符号位 $E$ 阶码 $M$ 尾数

0 00 000 000 000 0000 0000 0000 0000 0000

1.最大正数：M大，E大，符号位0

0 11 111 111 111 1111 1111 1111 1111 1111

$x = (-1)^0 \times(1+(1-2^{23})) \times2^{\ 127}$ ;
同理，最小正数，最大负数，最小负数。

2.1.3 字符与字符串的表示方法

字符信息用数据表示，称为符号数据。
国际版为IRA码，美国版称为ASCII码。
打印机设备可以打印95个字符；另外33个字符被用作操作码，控制计算机某些外围设备的工作特性和某些计算机软件的运行情况。

2.1.4 汉字的表示方法

汉字的输入编码

数字编码
常用的国际区位码。实际上把汉字表示成一个二维数组。区码和位码各两位十进制数字。
拼音码
以汉语拼音为基础的输入方法。
字形码
字形编码是汉字的形状来进行的编码。

2.1.4 校验码

数据位中1的个数有偶数个，偶校验C为0；奇数个，奇校验C为0。

数据偶校验编码C 奇校验编码C
10101010 10101010 0 10101010 1
01010100 01010100 1 01010100 0
11111111 11111111 0 11111111 1

2.2 定点加法，减法运算

2.2.1补码加法

公式：
[x]指机器码

$[x]_补+[y]_补=[x+y]_补$
证明略.

例子

例1. $x=+1011,y=-0101,求x+y$
$[x]_补=0，1011$
$[y]_补=1，1011$
$[x+y]_补=10，0110$
$x+y=+0110$
注意：①：符号位要作为数参与运算；②：超过符号位 $2^{n+1}$ 的位要丢掉

2.2.2补码减法

公式：
[x]指机器码

$[x]_补-[y]_补=[x-y]_补=[x]_补+[-y]_补$
证明略.

例子

例1. $x=+1101,y=+0110,求x-y.$
$[x]_补=0，1101$
$[-y]_补=1，1010$
$[x+y]_补=10，0111$
$x-y=+0111$
补：书上有特别指出知道 $[x]_补$ 求 $[-x]_补$ 【黑人问号？？？】
这不是很简单啊，如果这个x是负数，哈哈，直接去掉负号就好了，负数变成了正数，正数的补码就是原码不变；OK，正数，那我还不是要做一下负数的补码，为什么要给我再来一种方法，我不要！

2.2.3溢出概念与检测方法

引例1： $x=+1011,y=+1001,求x+y.$
$[x]_补=0，1011$
$[y]_补=0，1001$
$[x+y]_补=1，0100$
正数+正数=负数显然错了！—->正溢。
引例2： $x=-1101,y=-1011,求x+y.$
$[x]_补=1，0011$
$[y]_补=1，0101$
$[x+y]_补=0，1000$
负数+负数=正数显然错了！—->负溢。

为了判断是否溢出，第一种方法双符号位法：
注意：
①：两个符号位都要加入运算
②：超过两个符号位( $2^{n+2}$ )的数要舍去
IMPORTANT!!!

1.任意正数，两个符号位为”0”
2.任意负数，两个符号位为”1”

MORE IMPORTANT!!!

“01”，表正溢出
“10”，表负溢出

再度使用引例：
引例1： $x=+1011,y=+1001,求x+y.$
$[x]_补=00，1011$
$[y]_补=00，1001$
$[x+y]_补=01，0100$
—->正溢。
引例2： $x=-1101,y=-1011,求x+y.$
$[x]_补=11，0011$
$[y]_补=11，0101$
$[x+y]_补=10，1000$
—->负溢。

第二种方法：单符号位法。
①：当最高有效位产生进位而符号位无进位时，产生正溢。
②：当最高有效位无进位而符号位有进位时，产生负溢。
逻辑表达式可以用异或门实现。

2.5 定点运算器的组成

计算机最基本的结构：算术/逻辑运算单元、数据缓冲寄存器、通用寄存器、多路转换器和数据总线等逻辑部件。

2.5.1 逻辑运算

逻辑非运算

逻辑非也称求反。
0->1，1->0.

逻辑加运算

逻辑加又称逻辑或。常用记号”+”.
有”1”则”1”。

逻辑乘运算

逻辑乘又称逻辑乘。常用记号”·”.
两个都为1为1.

逻辑异运算

逻辑异又称按位加。常用记号” $\oplus$ ”.
不同为1.

2.5.2 多功能算术/逻辑运算单元(ALU)

串行进位

$C_{n+1}=Y_0+X_0C_n$
$C_{n+2}=Y_1+X_1C_{n+1}$
$C_{n+3}=Y_2+X_2C_{n+2}$
$C_{n+4}=Y_3+X_3C_{n+3}$

并行进位

$C_{n+1}=Y_0+X_0C_n$
$C_{n+2}=Y_1+Y_0X_1+X_0X_1C_n$
$C_{n+3}=Y_2+X_2Y_1+X_2Y_0X_1+X_2X_0X_1C_n$
$C_{n+4}=Y_3+X_3Y_2+X_3X_2Y_1+X_3X_2Y_0X_1+X_3X_2X_0X_1C_n$

（算术逻辑运算单元）ALU 组内先行进位
（先行进位发生器） CLA 组件行波进位

2.5.3 内部总线

单总线结构的运算器

1.在同一时间内，只能有一个操作数放在总线上，所以数据可以在任何连个寄存器之间，或者在任一一个寄存器和ALU之间传送。
2.只有在对全部都是CPU寄存器中的两个操作数进行操作时，单总线结构的运算器才会造成一定的损失。例如，在一个输入数是从存储器来的，且运算结果又送回存储器，那么限制数据传送的主要因素时存储器访问时间。

双总线结构的运算器

1.两个操作数同时加到ALU进行运算，只需要一次操作控制。
2.ALU的输出不能直接加到总线上去。因为形成操作结果的输出时，两条总线都被输入数占据，因而必须在ALU输出端设置数据缓冲寄存器。

三总线结构的运算器

1.ALU的输入输出端都有总线相连。
2.操作时间快。

2.5.4 定点运算器的基本结构

2.6 浮点运算和浮点运算器

补一个姿势–十进制分数/小数转二进制：

例：
9/16=0.5625
0.5625重复乘以2，并且每次取个位，则
0.5625*2=1.125 取整数部分1（最高位）小数部分0.125
0.125*2=0.25 整数部分是0 小数部分0.25
0.25*2=0.5 整数部分是0 小数部分0.5
0.5*2=1 整数部分是1（最低位）小数部分是0
则0.5625对应的二进制数为0.1001【除不尽考虑有效位数限制】

2.6.1 浮点加法，减法运算

直接举个例题

设 $x=0.5_{10}，y=-0.4375_{10}$ ，假设尾数有效位为4位，用二进制形式求 $(x+y)_浮$ .
解：
首先：先化成二进制，要求化成 $1.M\times 10^k$ 形式
$x=0.5_{10}=1.000_2 \times\ 2^{-1}$
$y=-0.4375_{10}=-1.110_2\times\ 2^{-2}$
第一步：小阶对大阶（这里是 $y$ 的阶比 $x$ 的小
$y=-0.4375_{10}=-1.110_2\times\ 2^{-2}=-0.111_2\times 2^{-1}$
第二步：尾数相加
$x+y=1.000_2 \times\ 2^{-1}+(-0.111_2\times 2^{-1})=0.001_2\times2^{-1}$
第三步：规格化
$x+y=0.001_2\times2^{-1}=1.000_2\times\ 2^{-4}$
第四步：检查上溢或下溢
$-126\le-4\le127$ ，求和结果既无上溢也无下溢
第五步：舍入操作
此时尾数有效位正好是4位，舍入时无需做任何改变

2.6.2 浮点乘法，除法运算

想不到的是这个比浮点加法，减法简单。
直接举个例题

设有浮点数 $x=0.5_{10}，y=-0.4375_{10}$ ，用二进制求 $(x+y)_浮$ 。
首先把十进制化成二进制
$x=0.5_{10}=1.000_2\times\ 2^{-1}$
$y=-0.4375_{10}=-1.110_2\times\ 2^{-2}$
第一步：将 $x$ 和 $y$ 的指数部分相加：
$e^x+e^y=-1+(-2)=-3$
第二步：尾数相乘
$1.000\times 1.110$ （模拟一下乘法
得 $1110000$
得到乘积为 $1.110000_2\times2^{-3}$
由于只需要4位有效数，所以最终修正结果： $1.110_2\times2^{-3}$
第三步：规格化与溢出检查
$-126\le-3\le127$ ，求和结果既无上溢也无下溢
第四步：确定积符号，为负号，得 $(x+y)_浮=-1.110_2\times2^{-3}$