codeforces Div.2 899D Shovel Sale

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本文探讨了一个数学问题：给定整数n，找出所有可能的无序整数对(a, b)，使得1≤a, b≤n，且a + b的末尾包含最多连续的9。通过枚举和条件判断，提供了一种有效的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

大意：
给出一个数 n
求 1<= a , b <= n ，记 N = a +b
求末尾有最多连续的9的N，a，b 有多少（无序）组。两组是不同的当且仅当有一个数不同。

样例解释：
input
14
output
9
hint：
In the example the maximum number of nines at the end of total cost of two shovels is one. :

1 and 8;
2 and 7;
3 and 6;
4 and 5;
5 and 14;
6 and 13;
7 and 12;
8 and 11;
9 and 10.

思路：
一个n确定的最多的连续的9数字是可以确定的，比如 n=300 可以确定构造出 $\overline{x99}$ 而不会去考虑 $\overline{x9}$
枚举x，并计数，就是答案。

对于一个数如 $\overline{abcde}$ 我们考虑最大位，即是否 $\overline{abcde}>$ 50000
如果是，那么考虑构造 $A=\overline{x99999}$
否则 $A=\overline{x9999}$
枚举 x = 0->8
对于A 的种数为

1 A-1
2 A-2
...
(A-1)/2 (A+1)/2

共 (A-1)/2 种，但是受 n 的限制，可能取不到值
n 的区间为
(A+1)/2 <= n <=A-1
n>=A
n<(A+1)/2
三种情况分别计数即可。

ps. 0个9结尾也算

实现代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair <int,int> pii;
#define mem(s,t) memset(s,t,sizeof(s))
#define D(v) cout<<#v<<" "<<v<<endl
#define inf 0x3f3f3f3f
#define pb push_back

//#define LOCAL
const int mod=1e9+7;
const int MAXN =1e5+10;
int main() {
    ll n,N;
    cin>>n;
    if(n<5){
        cout<<(n-1)*n/2<<endl;
        return 0;
    }
    ll a[15],b[15];
    a[0]=b[0]=1;
    a[1]=10,b[1]=9;
    for(int i=2;i<=12;i++){
        a[i]=a[i-1]*10;
        b[i]=b[i-1]*10+9;
    }
    N=n;
    int cnt=0;
    while(N){
        N/=10;
        cnt++;
    }
    ll ans=0;
    if(n>=5*a[cnt-1]){
        cnt++;
    }
    for(int i=0;i<=8;i++){
        ll A=i*a[cnt-1]+b[cnt-1];
        if((A+1)/2<=n && n<=A-1){
            ans+=n-(A+1)/2+1;
        }
        else if(n>=A){
            ans+=(A-1)/2;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}