【bzoj4035】[HAOI2015]数组游戏

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#bzoj #SG函数 #C++

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$SG$ 函数niubia
设 $SG(i)$ 为第 $i$ 位为白色的估价函数

显然有
$SG(i) = mex \{ SG ( j * i ) \}\ \ (2 \leq j \leq \lfloor \frac{n}{i} \rfloor)$

然后有个显（hen）然（nan）发现的性质
当 $\lfloor \frac{n}{i} \rfloor = \lfloor \frac{n}{j} \rfloor$ 时，有 $SG(i) = SG(j)$

为什么有这个结论呢，让我们来尝试证明一下
首先当 $i * 2 \geq n$ 时，显然成立，因为 $SG(i)$ 都等于 $1$

当 $i * 2 < n$ 时， $\lfloor \frac{n}{i} \rfloor$ 与 $\lfloor \frac{n}{j} \rfloor$ 相同意味着他们的 $SG$ 函数转移形式也相同，那么通过简单数学归纳法就能发现转移给他们的 $SG$ 值也相同，所以他们的 $SG(i)$ 也相同（我也不知道我在说什么）

反正大概就是这样了。。。。

然后xjb分块一下就好了，复杂度是 $O(N)$ 的，但是常数小，所以完全过得去

代码：

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<stack>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int INF = 2147483647;
const int maxn = 100010;
const int crz = 100007;

struct data{
    int id,val;
};

vector<data> ha[maxn];
int n,m,b,ans,tot;
int sg[maxn],L[maxn],R[maxn],vis[maxn];
int stk[maxn],top;

inline LL getint()
{
    LL ret = 0,f = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9')
    {
        if (c == '-') f = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9') ret = ret * 10 + c - '0',c = getchar();
    return ret * f;
}

inline int find(int x)
{
    int pos = x % crz;
    for (int i = 0; i < ha[pos].size(); i++)
        if (ha[pos][i].id == x)
            return ha[pos][i].val;
}

inline void insert(int id,int val)
{
    int pos = id % crz;
    ha[pos].push_back((data){id,val});
}

inline void init()
{
    for (int i = 1; i <= n; i = n / (n / i) + 1)
        L[++tot] = i , R[tot] = n / (n / i);

    for (int i = tot; i >= 1; i--)
    {
        vis[0] = i;
        int l = L[i],r = R[i],sum = 0;
        for (int j = 2 * l; j <= n; j = (n / (n / j) / l + 1) * l)
        {
            int cnt = n / (n / j) / l - (j - 1) / l;
            vis[sum ^ find(n / j)] = i;
            if (cnt & 1) sum ^= find(n / j);
        }
        for (int j = 0; j <= n; j++) 
            if (vis[j] != i) {sg[i] = j; break;}
        insert(n / l,sg[i]);
    }
}

int main()
{
    #ifdef AMC
        freopen("AMC1.txt","r",stdin);
    #endif
    n = getint();

    init();

    n = getint();
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ans = 0;
        m = getint();
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            int pos = getint();
            int id = upper_bound(L + 1,L + tot + 1,pos) - L - 1;
            ans ^= sg[id];
        }
        printf(ans ? "Yes\n" : "No\n");
    }

    return 0;
}