FFT的详细解释

FFT是离散傅立叶变换的高速算法,能够将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是非常难看出什么特征的,可是如果变换到频域之后,就非常easy看出特征了。这就是非常多信号分析採用FFT变换的原因。另外,FFT能够将一个信号的频谱提取出来,这在频谱分析方面也是经经常使用的。

尽管非常多人都知道FFT是什么,能够用来做什么,怎么去做,可是却不知道FFT之后的结果是什意思、怎样决定要使用多少点来做FFT。

如今圈圈就依据实际经验来说说FFT结果的详细物理意义。
一个模拟信号,经过ADC採样之后,就变成了数字信号。採样定理告诉我们,採样频率要大于信号频率的两倍,这些我就不在此罗嗦了。

採样得到的数字信号,就能够做FFT变换了。N个採样点,经过FFT之后,就能够得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算,通常N取2的整数次方。

如果採样频率为Fs,信号频率F,採样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就相应着一个频率点。这个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。详细跟原始信号的幅度有什么关系呢?如果原始信号的峰值为A,那么FFT的结果的每一个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量的N倍。而每一个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。
第一个点表示直流分量(即0Hz),而最后一个点N的再下一个点(实际上这个点是不存在的,这里是如果的第N+1个点,也能够看做是将第一个点分做两半分,还有一半移到最后)则表示採样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每一个点的频率依次添加?。比如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式能够看出,Fn所能分辨到频率为为Fs/N,如果採样频率Fs为1024Hz,採样点数为1024点,则能够分辨到1Hz。
1024Hz的採样率採样1024点,刚好是1秒,也就是说,採样1秒时间的信号并做FFT,则结果能够分析到1Hz,如果採样2秒时间的信号并做FFT,则结果能够分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力,则必须添加?採样点数,也即採样时间。频率分辨率和採样时间是倒数关系。
如果FFT之后某点n用复数a+bi表示,那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b,相位就是Pn=atan2(b,a)。依据以上的结果,就能够计算出n点(n≠1,且n<=N/2)相应的信号的表达式为:
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
对于n=1点的信号,是直流分量,幅度即为A1/N。
因为FFT结果的对称性,通常我们仅仅使用前半部分的结果,即小于採样频率一半的结果。

好了,说了半天,看着公式也晕,以下圈圈以一个实际的信号来做说明。

如果我们有一个信号,它含有2V的直流分量,频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号,以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是例如以下:

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

式中cos參数为弧度,所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的採样率对这个信号进行採样,总共採样256点。
依照我们上面的分析,Fn=(n-1)*Fs/N,我们能够知道,每两个点之间的间距就是1Hz,第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率:0Hz、50Hz、75Hz,应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值,其他各点应该接近0。实际情况怎样呢?
我们来看看FFT的结果的模值如图所看到的。

bubuko.com,布布扣

图1 FFT结果
从图中我们能够看到,在第1点、第51点、和第76点附近有比較大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看:
1点: 512+0i
2点: -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3点: -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50点:-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点:332.55 - 192i
52点:-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75点:-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点:3.4315E-12 + 192i
77点:-3.0263E-14 +7.5609E-13i

非常明显,1点、51点、76点的值都比較大,它附近的点值都非常小,能够觉得是0,即在那些频率点上的信号幅度为0。
接着,我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值,结果例如以下:
1点: 512
51点:384
76点:192
依照公式,能够计算出直流分量为:512/N=512/256=2;
50Hz信号的幅度为:384/(N/2)=384/(256/2)=3;75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见,从频谱分析出来的幅度是正确的。
然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言,不用管它。先计算50Hz信号的相位,atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度,换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位,atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度,换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见,相位也是对的。
依据FFT结果以及上面的分析计算,我们就能够写出信号的表达式了,它就是我们開始提供的信号。

总结:如果採样频率为Fs,採样点数为N,做FFT之后,某一点n(n从1開始)表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N;该点的模值除以N/2就是相应该频率下的信号的幅度(对于直流信号是除以N);该点的相位即是相应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值,范围从-pi到pi。要精确到xHz,则须要採样长度为1/x秒的信号,并做FFT。要提高频率分辨率,就须要添加?採样点数,这在一些实际的应用中是不现实的,须要在较短的时间内完毕分析。解决问题的方法有频率细分法,比較简单的方法是採样比較短时间的信号,然后在后面补充一定数量的0,使其长度达到须要的点数,再做FFT,这在一定程度上可以提高频率分辨力。
详细的频率细分法可參考相关文献。

[附录:本測试数据使用的matlab程序]
close all; %先关闭全部图片
Adc=2; %直流分量幅度
A1=3; %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
F1=50; %信号1频率(Hz)
F2=75; %信号2频率(Hz)
Fs=256; %採样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90; %信号相位(度)
N=256; %採样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %採样时刻

%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
plot(S);
title(‘原始信号‘);

figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title(‘FFT 模值‘);

figure;
Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显示换算后的FFT模值结果
title(‘幅度-频率曲线图‘);

figure;
Pyy=[1:N/2];
for i=1:N/2
Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %显示相位图
title(‘相位-频率曲线图‘);
<think>嗯,用户让我详细解释一下ARM的FFT库函数。首先,我需要确认用户指的是哪个具体的库。因为ARM有几个不同的库,比如CMSIS-DSP库,这是他们为Cortex-M处理器提供的DSP库,里面包含FFT函数。所以可能用户指的是这个。 接下来,我应该先介绍一下FFT是什么,以及为什么在嵌入式系统中需要用到它。FFT是快速傅里叶变换,用来将时域信号转换为频域,这在信号处理中非常重要,比如音频处理、振动分析等。ARM的FFT库优化过,适合在资源受限的嵌入式设备上高效运行。 然后需要说明这个库属于CMSIS-DSP库,支持多种数据类型,比如浮点、Q15、Q31等,适用于不同硬件配置。比如Cortex-M4或M7可能有硬件FPU,适合浮点运,而M3可能需要使用Q格式的定点数。 然后要分点介绍主要函数,比如arm_cfft_f32,arm_rfft_f32等。需要解释每个函数的作用,参数是什么,比如实例结构体、输入输出数组、是否位反转等。可能用户需要知道如何初始化这些结构体,比如使用arm_cfft_init_f32来根据FFT长度初始化。 另外,应该提到不同的函数变体,比如复数FFT和实数FFT的区别。复数FFT处理复数输入,而实数FFT针对实数值输入进行优化,节省计资源。同时,逆变换函数的存在,用于从频域转回时域。 可能还需要提到配置和优化部分,比如使用硬件加速(如SIMD指令),内存分配需要考虑对齐,避免动态内存分配以提高实时性。这些都是在实际使用中需要注意的地方。 然后,举一个简单的应用示例,展示如何调用这些函数,从初始化到执行FFT,再到处理结果。这样用户能更直观地理解流程。 还需要注意用户可能的背景。他们可能是在嵌入式开发中遇到信号处理的需求,比如音频或传感器数据分析,所以示例和应用场景需要贴近这些领域。同时,用户可能需要知道如何选择合适的函数和配置,以及如何优化性能。 可能用户的问题还隐含了如何开始使用这个库,是否需要特定的开发环境,比如Keil MDK或者STM32CubeIDE,是否需要包含特定的头文件或者链接库。不过用户的问题主要集中在库函数本身,所以可能不需要深入开发环境配置,但简要提及可能更好。 最后,检查是否有遗漏的重要点,比如库的版本兼容性,不同ARM内核的支持情况,或者性能对比,比如执行周期数等。这些细节可能对高级用户有帮助,但作为介绍,可能不需要太深入。 总结一下,回答的结构应该是先介绍库的背景,然后主要函数及其参数,使用步骤,配置优化,应用示例,以及使用注意事项。确保内容条理清晰,方便用户理解并实际应用。</think>ARM 的 FFT(快速傅里叶变换)库函数是专为嵌入式系统优化的高性能信号处理工具,主要集成在 **CMSIS-DSP 库**(Cortex Microcontroller Software Interface Standard)中。该库针对 ARM Cortex-M 系列处理器(如 M4、M7 等)进行了高度优化,支持浮点和定点运,适用于实时信号处理场景(如音频分析、传感器数据处理等)。以下是详细解释: --- ### 1. **核心功能** - **FFT**:将时域信号转换为频域,支持复数 FFT(CFFT)和实数 FFT(RFFT)。 - **逆 FFT(IFFT)**:将频域信号转换回时域。 - **支持数据类型**:浮点(`f32`)、16 位定点(`q15`)、32 位定点(`q31`)。 - **可配置长度**:支持 16、32、64、... 4096 点等多种 FFT 长度(需库编译时启用)。 --- ### 2. **主要库函数** #### a. **复数 FFT(CFFT)** - **函数原型**: ```c void arm_cfft_f32(const arm_cfft_instance_f32 *S, float32_t *pSrc, uint8_t ifftFlag, uint8_t bitReverseFlag); ``` - **参数说明**: - `S`:FFT 实例(包含旋转因子和配置,需提前初始化)。 - `pSrc`:输入/输出数组(复数形式,实部虚部交替存储)。 - `ifftFlag`:0 表示 FFT,1 表示逆 FFT。 - `bitReverseFlag`:1 启用输出位反转(提升效率)。 #### b. **实数 FFT(RFFT)** - **函数原型**: ```c void arm_rfft_fast_f32(arm_rfft_fast_instance_f32 *S, float32_t *p, float32_t *pOut, uint8_t ifftFlag); ``` - **特点**:直接处理实数输入,输出复数频域结果(对称性优化,计更快)。 #### c. **初始化函数** - 需要提前初始化 FFT 实例(加载旋转因子): ```c arm_status arm_cfft_init_f32(arm_cfft_instance_f32 *S, uint16_t fftLen); ``` --- ### 3. **使用流程示例(以浮点 CFFT 为例)** ```c #include "arm_math.h" #include "arm_const_structs.h" // 预定义 FFT 配置 #define FFT_LEN 1024 float32_t input[FFT_LEN * 2]; // 实部和虚部交替存储(复数输入) float32_t output[FFT_LEN]; // 幅度结果 void process_fft() { // 1. 填充输入数据(实部为信号,虚部为0) for (int i = 0; i < FFT_LEN; i++) { input[2*i] = sensor_data[i]; // 实部 input[2*i+1] = 0.0f; // 虚部 } // 2. 执行 FFT(直接使用预定义的 1024 点配置) arm_cfft_f32(&arm_cfft_sR_f32_len1024, input, 0, 1); // 3. 计幅度(可选) arm_cmplx_mag_f32(input, output, FFT_LEN); } ``` --- ### 4. **关键优化特性** - **硬件加速**:利用 Cortex-M 处理器的 SIMD 指令(如单指令多数据)和 FPU(浮点单元)。 - **内存效率**:支持原位计(输入输出共用同一内存)。 - **位反转优化**:通过重排输出顺序减少计量。 --- ### 5. **配置与注意事项** - **库的启用**:需在项目中链接 CMSIS-DSP 库,并包含头文件 `arm_math.h`。 - **内存对齐**:输入数组需 4 字节对齐(如使用 `__attribute__((aligned(4)))`)。 - **实时性**:避免动态内存分配,FFT 实例应预先初始化。 --- ### 6. **典型应用场景** - 音频频谱分析(如语音识别) - 振动传感器频域特征提取 - 通信系统中的调制/解调(如 OFDM) - 电力系统谐波分析 --- ### 7. **性能对比** 以 Cortex-M4 处理器为例(时钟 100 MHz): - 1024 点浮点 FFT:约 0.5 ms - 256 点 Q15 定点 FFT:约 0.2 ms --- 通过合理选择 FFT 长度和数据类型,ARM 的 FFT 库可在资源受限的嵌入式设备上实现高效的频域分析。建议参考 ARM 官方文档和示例代码进一步学习具体实现细节。
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