HDU 5297 Y sequence

Y sequence

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Problem Description

Yellowstar likes integers so much that he listed all positive integers in ascending order,but he hates those numbers which can be written as a^b (a, b are positive integers,2<=b<=r),so he removed them all.Yellowstar calls the sequence that formed by the rest integers“Y sequence”.When r=3,The first few items of it are：
2,3,5,6,7,10......
Given positive integers n and r，you should output Y(n)(the n-th number of Y sequence.It is obvious that Y(1)=2 whatever r is).

 

Input

The first line of the input contains a single number T:the number of test cases.
Then T cases follow, each contains two positive integer n and r described above.
n<=2*10^18,2<=r<=62,T<=30000.

 

Output

For each case,output Y(n).

 

Sample Input

  

   2
10 2
10 3
  

 

Sample Output

  

   13
14
  

 

题意：给定正整数n和r，定义Y数列为从正整数序列中删除所有能表示成a^b(2 ≤ b ≤ r)的数后的数列，求Y数列的第n个数是多少。例如n = 10， r = 3，则Y数列为2 3 5 6 7 10 11 12 13 14，第10个数是14。

思路：首先我们知道，小于n的平方数有sqrt(n)即pow(n+0.5, 1.0/2)个，立方数有pow(n+0.5, 1.0/3)个.....同理递推。（n+0.5是为了确保精度）

值得注意的是，当b是合数时例如b=6时，因为a^6 = (a^3)^2 = (a^2)^3，要求Y序列中第n个数是什么，直接求似乎有点难，我们这样想，先求n前面能表示成平方数、立方数...r方数的有多少个，假设为tmp，再让n+tmp（相当于前面筛掉了tmp个数），再依次迭代，直到新加的tmp里面没有能表示成2~r方的数即可，因为能表示成幂指数的数越往后越稀疏，所以这样复杂度就比直接二分低了，但是正如前面所说的，我们筛掉平方数时筛掉了6次方数但是晒立方数时又筛掉了6次方数，所以要用容斥来维护。

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1. #include <bits/stdc++.h>  
2. using namespace std;  
3. typedef long long ll;  
4.   
5. int p[30];  
6. ll n, r;  
7. vector<int> Exclu;  
8.   
9. void getPrime() {  
10.         bool vis[70];  
11.         int pos = 0;  
12.         memset(vis, 0, sizeof(vis));  
13.         for(int i = 2; i < 70; ++i) {  
14.                 if(!vis[i]) {  
15.                         p[pos++] = -i;  
16.                 }  
17.                 for(int j = i; j < 70; j += i) {  
18.                         vis[j] = 1;  
19.                 }  
20.         }  
21. }  
22.   
23. void init() {  
24.         Exclu.clear();  
25.         for(int i = 0; abs(p[i]) <= r; ++i) {  
26.                 int cnt = Exclu.size();  
27.                 for(int j = 0; j < cnt; ++j) {  
28.                         if(abs(p[i] * Exclu[j]) <= 63) {  
29.                                 Exclu.push_back(p[i] * Exclu[j]);  
30.                         }  
31.                 }  
32.                 Exclu.push_back(p[i]);  
33.         }  
34.   
35. }  
36.   
37. ll getNum(ll n) {  
38.         if(n == 1) return 0;  
39.         ll ans = n;  
40.         for(int k : Exclu) {  
41.                // +0.5为了保证精度;-1是暂时不包含1（因为当a=1时，a^b一定会等于1）    
42.                ll tmp = (ll)pow(n + 0.5, 1.0/abs(k)) - 1;  
43.                if(k < 0) {  
44.                 ans -= tmp;  
45.                }  
46.                else {  
47.                 ans += tmp;  
48.                }  
49.         }  
50.         // 减去刚才没有包含在内的1  
51.         return ans - 1;  
52. }  
53.   
54. int main()  
55. {  
56.         ios::sync_with_stdio(false);  
57.         int T;  
58.         getPrime();  
59.         cin >> T;  
60.         ll ans, tmp;  
61.         while(T--) {  
62.                cin >> n >> r;  
63.                init();  
64.                ans = n;  
65.                while(true) {  
66.                 tmp = getNum(ans);  
67.                 if(tmp == n)  
68.                         break;  
69.                 ans += n - tmp;  
70.                }  
71.                cout << ans << endl;  
72.         }  
73.         return 0;  
74. }