五大常用算法之二：动态规划算法

1、基本概念

动态规划过程是：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生的，所以这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划（dynamic programming）

2、基本思想

与分治法类似，将待求解问题分割成若干子问题，按顺序求解子问题，前一个子问题的解，为后一个子问题的求解提供了有用的信息。
由于动态规划解决的问题多数存在重叠的子问题，为了减少重复计算，对每一个子问题只需要求解一次，然后将不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中，这时候在C++就可以借用容器（vector、set等），不仅可以保存结果，而且查找时间开销小。
与分治法最大的差别是：适合于动态规划求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）。

3、使用场景

1. 最优化原理：问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的；
2. 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响；
3. 有重叠子问题：子问题之间不相互独立。

4、求解步骤

4. 划分阶段：将问题划分为若干有序或可排序的阶段；
5. 确定状态和状态变量：不同阶段用不同状态表示；
6. 确定决策并写出状态转移方程：状态转移是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态，往往参考相邻两个阶段的状态之间的关系。
7. 寻找边界条件：需要一个终止的边界条件

5、算法实现

f(n,m)=max{f(n-1,m),f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}

代码
for(j=1; j<=m; j=j+1) // 第一个阶段
   xn[j] = 初始值;

 for(i=n-1; i>=1; i=i-1)// 其他n-1个阶段
   for(j=1; j>=f(i); j=j+1)//f(i)与i有关的表达式
     xi[j]=j=max（或min）{g(xi-1[j1:j2]), ......, g(xi-1[jk:jk+1])};

t = g(x1[j1:j2]); // 由子问题的最优解求解整个问题的最优解的方案

print(x1[j1]);

for(i=2; i<=n-1; i=i+1）
{  
     t = t-xi-1[ji];

     for(j=1; j>=f(i); j=j+1)
        if(t=xi[ji])
             break;
}

参考链接