时间与空间复杂度解析

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一、说明

时间复杂度和空间复杂度是用来评价算法效率高低的2个标准，身为开发者肯定会经常会听到这2个概念，但它们分别是什么意思呢?

其实这两个概念从字面意思上也能看出一二：

• 时间复杂度：就是说执行算法需要消耗的时间长短，越快越好。比如你在电脑上打开计算器，如果一个普通的运算要消耗1分钟时间，那谁还会用它呢，还不如自己口算呢。
• 空间复杂度：就是说执行当前算法需要消耗的存储空间大小，也是越少越好。本来计算机的存储资源就是有限的，如果你的算法总是需要耗费很大的存储空间，这样也会给机器带来很大的负担。

二、时间复杂度的计算

表示方法

我们一般用“大O符号表示法”来表示时间复杂度：T(n) = O(f(n))
n是影响复杂度变化的因子，f(n)是复杂度具体的算法。

常见的时间复杂度量级

• 常数阶O(1)
• 线性阶O(n)
• 对数阶O(logN)
• 线性对数阶O(nlogN)
• 平方阶O(n²)
• 立方阶O(n³)
• K次方阶O(n^k)
• 指数阶(2^n)

接下来再看一下不同的复杂度所对应的算法类型。

常数阶O(1)

int a = 1;
int b = 2;
int c = 3;

我们假定每执行一行代码所需要消耗的时间为1个时间单位，那么以上3行代码就消耗了3个时间单位。那是不是这段代码的时间复杂度表示为O(n)呢 ？
其实不是的，因为大O符号表示法并不是用于来真实代表算法的执行时间的，它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势的。
上面的算法并没有随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

线性阶O(n)

for(i=1; i<=n; i++) {
   j = i;
   j++;
}

看这段代码会执行多少次呢？
第1行会执行1次，第2行和第3行会分别执行n次，总的执行时间也就是 2n + 1 次，那它的时间复杂度表示是 O(2n + 1) 吗？ No !
还是那句话：“大O符号表示法并不是用于来真实代表算法的执行时间的，它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势的”。
所以它的时间复杂度其实是O(n);

对数阶O(logN)

int i = 1;
while(i < n) {
    i = i * 2;
}

可以看到每次循环的时候 i 都会乘2，那么总共循环的次数就是log₂n，因此这个代码的时间复杂度为O(logn)。
这儿有个问题，为什么明明应该是O(log₂n）,却要写成O(logn)呢？
其实这里的底数对于研究程序运行效率不重要，写代码时要考虑的是数据规模n对程序运行效率的影响，常数部分则忽略，同样的，如果不同时间复杂度的倍数关系为常数，那也可以近似认为两者为同一量级的时间复杂度。

线性对数阶O(nlogN)

for(m = 1; m < n; m++) {
    i = 1;
    while(i < n) {
        i = i * 2;
    }
}

线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)。

平方阶O(n²)

for(x=1; i <= n; x++){
   for(i = 1; i <= n; i++) {
       j = i;
       j++;
    }
}

把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²) 了。

立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似。

三、空间复杂度计算

空间复杂度 O(1)

如果算法执行所需要的临时空间不随着某个变量n的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)。

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

代码中的 i、j、m 所分配的空间都不随着处理数据量变化，因此它的空间复杂度 S(n) = O(1)。

空间复杂度 O(n)

int[] m = new int[n]
for(i=1; i <= n; ++i) {
   j = i;
   j++;
}

这段代码中，第一行new了一个数组出来，这个数据占用的大小为n，后面虽然有循环，但没有再分配新的空间，因此，这段代码的空间复杂度主要看第一行即可，即 S(n) = O(n)。

总结

评价一个算法的效率主要是看它的时间复杂度和空间复杂度情况。可能有的开发者接触时间复杂度和空间复杂度的优化不太多（尤其是客户端），但在服务端的应用是比较广泛的，在巨大并发量的情况下，小部分时间复杂度或空间复杂度上的优化都能带来巨大的性能提升，是非常有必要了解的。