codeforces 621E Wet Shack and blocks dp+矩阵幂优化!_dp[i][(k*10+j)%x]+=dp[i-1][k]*cnt[j];-优快云博客

本文介绍了一种使用矩阵快速幂优化动态规划算法的方法，适用于处理大规模问题的情况。通过构造特定矩阵并利用快速幂计算，可以有效地解决当状态转移方程数量巨大时传统动态规划方法面临的内存和时间限制问题。

题意每块有n个数字,选b次求最后组成的数%x==k的方法数
dp[i][j]:i位数字,余数为j,cnt[i] digit i出现次数
dp[i][(j*10+r)%x]+=dp[i][j]*cnt[r]
总共有b位数字 b<=1e9 空间和时间都不够！线性递推构造矩阵优化！！！

矩阵aij为添加一位数字后余数由i变为j的方法数矩阵A为x*x方阵
定义矩阵c为A*A 则cij=sigma(aik*akj) cij显然为添加2位后,余数从i变到j的方法数
则求出A^b后c[0][k]即为添加b位数字后余数为k的方法数

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector> 
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<int> vec;
typedef vector<vec> mat;
const int N=1e3+20;
const ll mod=1e9+7;
ll b;
int n,k,x,cnt[N];


mat mul(mat a,mat b)
{
	mat c(a.size(),vec(b[0].size()));
	for(int i=0;i<a.size();i++)
	{
		for(int j=0;j<b[0].size();j++)
		{
			c[i][j]=0;
			for(int k=0;k<b.size();k++)
			{
				c[i][j]=(c[i][j]+(ll)a[i][k]*b[k][j])%mod;
			}
		}
	}
	return c;
}

mat Pow(mat A,ll b)
{
	mat c(A.size(),vec(A.size()));
	for(int i=0;i<x;i++)
	c[i][i]=1;
	
	while(b)
	{
		if(b&1)
		c=mul(c,A);
	
		A=mul(A,A);
		b>>=1;
	}
	return c;
}
int main()
{
	cin>>n>>b>>k>>x;
	mat A(x,vec(x));	
	memset(cnt,0,sizeof(cnt));
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		int x;
		cin>>x;
		cnt[x]++;
	}
	//构造初始矩阵A[i][j] 添加一位后余数由i变为j的方法数 
	for(int i=0;i<x;i++)
	{
		A[i][i]=0;
		for(int j=1;j<10;j++)
		{
		 	A[i][(i*10+j)%x]=(cnt[j]+A[i][(i*10+j)%x])%mod;
		}
	}
	A=Pow(A,b);
	cout<<A[0][k]<<endl;
	return 0;
}