4.1 Maximum and Minimum Value

3.10 Linear approximations and differentials

L(x)=fa+f’a(x-a)
已知函数上的一个点，求，通过他的直线方程

例题：
已知函数方程，A点的X 值，求Lx
1. 带入a, 得到fa值
2. 求出F’a
3. 计算

Differentials
dy=f’x dx
已知函数方程，2个接近的X值

Let c be a number in the domain D of a function F. Then Fc is the

Absolute maximum value of f on D if Fc>=fx for all x in D
Absolute minimum value of f on D if Fc<=fx for all x in D

The number fc is a
local max value of f if fc>=fx when x is near c
local min value of f if fc<=fx when x is near c

ex:
-1<=cosx<=1
fx=x^2, f(0) is absolute and local min value of f, but no highest, so no max value
fx=x^3, no max,no min

if the max value is at the endpoint,it is not local max

The extreme value Theorem:
if f is continuous on a closed interval [a,b], then f attains an absoulte max value fc and an absolute min value fd ate some number c and d in[a,b].
如果是在闭合区间A,B, 函数会有C,D对应的最值

如果不连续，也可以有最大值，和最小值
不闭合区间，看情况

导数是切线斜率
Fermat’s Theorem
If f has a local max, or min at c and if f’c exists, then f’c=0
如果函数有局部最大值，或者最小值在C点，并且C的导数存在，那么C的导数为0

但是也不能依赖于这个定理，比如Fx=x^3, f’x=3x^2, f0=0, 但是他并没有最大最小值。只是表示，在0点有个水平的切线

再比如Fx=|x|局部最小和最大都在0，但是这一点导数不存在。

函数有最值，也许根本没有导数，
也许有导数为0，但是导数这点没有最值

A critical number of a function f is a number c in the domain of f such that either f’c=0 or f’c does not exist.
一个函数的critical number，是一个数字C在F的定义域里，导数C为0，或者导数不存在。

如果函数F 有局部最大最小值 在C这个点，那么C就是F的critical number

闭合区间方法：
在一个连续函数F，的闭合区间里【a,b】.发现最大和最小值
1. 在（a,b）之间，函数的critical number的函数值
2. 找到函数区间端点的函数值
3. 比较得到的数字-》得到最值

题的类型：
1. 给图像，找值
2. 给函数：求Critical number, 求最值

4.2 The Mean Value Theorem

Rolle’s Theorem
当F是一个函数，满足下列3个猜测：
1. f 在闭合区间[a,b] 连续
2. f 在(a,b)区间里，导数存在
3. fa=fb
有个C在（a,b）里，f’c =0

三种不同的情况：
1. fx=k, 一个常数，那么，f’x为0，c可以是（a,b）里面的任何数字
2. fx>fa 在（a,b）中的一些X.
3. fx

4.8 Newton’s Method

X(n+1)=Xn-f(xn)/f’(xn)
已知一点求另外一点

已知一点的X的值，和FX 和F’X，可求另外X2的值

例题：
告诉你X1的值，和函数，求X2,X3
求X3, 先要通过公式得到X2

6sqrt2 推测
先要转化为函数方程，X^6-2=0， 再一个个求

4.9 Antiderivatives

一个函数的导数等于函数，在所有定义域，那么这个函数F叫做反导数

FX+C

3.10-4.9
1，巩固概念
2，熟悉题型
3，复习题