斐波那契数列（07）

题一

【已知斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）】

1、分析：

（1）斐波那契数列的定义如下：

          

（2）、使用递归的方式非常简单，但是空间和时间复杂度太大，效率低。因此采用自下而上的循环来实现。先求出 f(0)、f(1)，再求出f(2)，再由f(2)和f(1)来求出f(3)。这样时间的复杂度只有O(n)，而采用递归的时间复杂度则是 n 的指数来增加。

2、代码的如下

方法1、用数组来保存自下而上的结果

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        int F[n]; // 数组的声明放在此处，若放在n>1的情况下则无法通过编译
        if(n==0)
            return 0;
        if(n==1)
            return 1;
        if(n>1){
            F[0]=0;
            F[1]=1;
            for(int i=2;i<=n;i++){
                F[i]=F[i-1]+F[i-2];
            }
            return F[n];
        }
    }
};

方式2、用变量来保存自下而上的结果

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        int result[2]={0,1};
        if(n<=1){
            return result[n];
        }
            int fibn1=1;
            int fibn2=0;
            int fibn;
            for(int i=2;i<=n;i++){
                fibn=fibn1+fibn2;
                fibn2=fibn1;
                fibn1=fibn;
            }
            return fibn;

    }
};

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题二

【一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）】

1、分析：

• 当台阶数number=0时，有0种跳法
• 当台阶数number=1时，有1种跳法：一次跳一个台阶。
• 当台阶数number=2时，有2种跳法：一次跳一个台阶，跳两次；或一次跳2个台阶。
• 当台阶数number>2时，此时将总的跳法看成number的函数 f(number)，第一次跳一阶时，总的跳法为剩下的台阶跳法：f(number-1)；第一次跳2阶时，总的跳法为剩下的台阶跳法：f(number-2)。所以总的跳法为：f(number-1)+f(number-2)，可以转化为斐波那契数列。

2、代码如下

class Solution {
public:
    int jumpFloor(int number) {
        if(number==0)
            return 0;
        if(number==1)
            return 1;
        if(number==2){
            return 2; 
        }
        if(number>2){
            int f01=1;
            int f02=2;
            int fn;
            for(int i=3;i<=number;i++){
                fn=f01+f02;
                f01=f02;
                f02=fn;
            }
            return fn;
        }
    }
};

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题三

【一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法】

1、分析：

• 当有1个台阶时，f(1)=1
• 当有2个台阶时，f(2)=f(2-1)+f(2-2)=f(1)+f(0)。f(2-1) 为第一次跳一个台阶，f(2-2)为一次跳2个台阶
• 当有3个台阶时，f(3)=f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)=f(2)+f(1)+f(0)。
• 当有n个台阶时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...............+f(0)= f(n-1)+f(n-1)=2*f(n-1)。最终总的跳法为 2^n-1 次

2、代码如下

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        int Num[number];
        if(number==0)
            return 0;
        if(number==1)
            return 1;
        if(number>1){
            Num[0]=1,Num[1]=1;
            for(int i=2;i<=number;i++){
                Num[i]=2*Num[i-1];
            }
            return Num[number];
        }
    }
};

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题四

【我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法】

1、分析：

• 当 n=0 时，为0种
• 当n=1时，只有1种方式
• 当n>1时，可以分为两种情况：竖着覆盖时，此时的方法为f(n-1)；横着覆盖时，则其下面的也要横着覆盖，此时的方法为f(n-2)
• 所以总的覆盖方法为f(n) = f(n-1) + f(n-2)，为斐波那契数列

2、代码如下

class Solution {
public:
    int rectCover(int number) {
        // 当有0个矩形时
        if(number==0)
            return 0;
        //当有1列矩形时
        if(number==1)
            return 1;
        //当矩形的列数超过1时
        if(number>1){
            int f1=1;
            int f2=1;
            int fn;
            for(int i=2;i<=number;i++){
                fn=f1+f2;
                f1=f2;
                f2=fn;
            }
            return fn;
        }

    }
};