数学漫游 -> 特征值和特征向量

最新推荐文章于 2023-08-21 19:45:55 发布
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分类专栏： 数学漫游 文章标签： 特征值 特征向量 对称矩阵 正定矩阵
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本文深入探讨了特征值和特征向量的概念，特别是对于方阵的对角化过程。对称矩阵的特性被详细阐述，包括其特征向量的正交性以及如何通过特征向量对矩阵进行分解。此外，文章还讲解了正定矩阵的定义和性质，强调了它们在判断局部极小值和应用中的重要性。

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文章目录

特征值和特征向量

前提: 都是针对方阵来进行讨论.

1. 定义和例子

TODO

2. 利用特征值和特征向量对矩阵进行对角化

假设矩阵 A A A大小为nxn, 有n个不同的特征值, 于是有对应的n个线性无关的特征向量, 则可以进行如下分解:
在这里插入图片描述
从图可见, Λ \Lambda Λ为特征值组成的矩阵, X X X为对应特征向量组成的矩阵.

应用: 求 A n A^n An
在这里插入图片描述

3. 微分方程的求解和矩阵的指数

TODO

4. 对称矩阵

It is no exaggeration to say that symmetric matrices are the most important matrices the world will ever see - in the theory of linear algebra and also in the applications.

当矩阵 A A A为对称矩阵, 即 A = A T A = A^T A=AT, 特征方程 A x = λ x Ax = \lambda x Ax=λx又会有什么特殊的性质呢?

(1) 推导:

A = X Λ X −

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矩阵的特殊性也表现在eigenvalue和eigenvector上马尔科夫矩阵，有一特征值为1开始MIT线性代数课的最后一大部分，关于正定矩阵，对称，奇异值分解。这些都是线性代数的应用或者升华。明显比前两大块要抽象，也更加贴近应用。对称矩阵中的极品:正定矩阵(所有特征值都 > 0)更是好东西，在现实应用中经常出现。
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