KMP算法详解

最新推荐文章于 2021-08-04 18:24:06 发布

Jeaforea

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分类专栏：算法文章标签：算法 kmp

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作者： July 、 saturnma 时间；二零一一年一月一日

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本文参考：数据结构（C语言版）李云清等编著、算法导论
作者声明：个人July 对此24个经典算法系列，享有版权，转载请注明出处。

引言：
在文本编辑中，我们经常要在一段文本中某个特定的位置找出某个特定的字符或模式。
由此，便产生了字符串的匹配问题。
本文由简单的字符串匹配算法开始，经Rabin-Karp算法，最后到KMP算法，教你从头到尾彻底理解KMP算法。

来看算法导论一书上关于此字符串问题的定义：
假设文本是一个长度为n的数组T[1...n]，模式是一个长度为m<=n的数组P[1....m]。
进一步假设P和T的元素都是属于有限字母表Σ.中的字符。

依据上图，再来解释下字符串匹配问题。目标是找出所有在文本T=abcabaabcaabac中的模式P=abaa所有出现。
该模式仅在文本中出现了一次，在位移s=3处。位移s=3是有效位移。

一、简单的字符串匹配算法

简单的字符串匹配算法用一个循环来找出所有有效位移，
该循环对n-m+1个可能的每一个s值检查条件P[1....m]=T[s+1....s+m]。

NAIVE-STRING-MATCHER(T, P)
1 n ← length[T]
2 m ← length[P]
3 for s ← 0 to n - m
4     do if P[1 ‥ m] = T[s + 1 ‥ s + m]
      //对n-m+1个可能的位移s中的每一个值，比较相应的字符的循环必须执行m次。
5           then print "Pattern occurs with shift" s

简单字符串匹配算法，上图针对文本T=acaabc 和模式P=aab。
上述第4行代码，n-m+1个可能的位移s中的每一个值，比较相应的字符的循环必须执行m次。
所以，在最坏情况下，此简单模式匹配算法的运行时间为O（(n-m+1)m）。

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下面我再来举个具体例子，并给出一具体运行程序：
对于目的字串target是banananobano,要匹配的字串pattern是nano,的情况，

下面是匹配过程，原理很简单，只要先和target字串的第一个字符比较，
如果相同就比较下一个，如果不同就把pattern右移一下，
之后再从pattern的每一个字符比较，这个算法的运行过程如下图。
//index表示的每n次匹配的情形。

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int match(const string& target,const string& pattern)
{
    int target_length = target.size();
    int pattern_length = pattern.size();
    int target_index = 0;
    int pattern_index = 0;
    while(target_index < target_length && pattern_index < pattern_length)
    {
        if(target[target_index]==pattern[pattern_index])
        {
            ++target_index;
            ++pattern_index;
        }
        else
        {
            target_index -= (pattern_index-1);
            pattern_index = 0;
        }
    }
    if(pattern_index == pattern_length)
    {
        return target_index - pattern_length;
    }
    else
    {
        return -1;
    }
}
int main()
{
    cout<<match("banananobano","nano")<<endl;
    return 0;
}

//运行结果为4。

上面的算法进间复杂度是O(pattern_length*target_length),
我们主要把时间浪费在什么地方呢，
观查index =2那一步，我们已经匹配了3个字符，而第4个字符是不匹配的，这时我们已经匹配的字符序列是nan,

此时如果向右移动一位，那么nan最先匹配的字符序列将是an,这肯定是不能匹配的，
之后再右移一位，匹配的是nan最先匹配的序列是n,这是可以匹配的。

如果我们事先知道pattern本身的这些信息就不用每次匹配失败后都把target_index回退回去，
这种回退就浪费了很多不必要的时间，如果能事先计算出pattern本身的这些性质，
那么就可以在失配时直接把pattern移动到下一个可能的位置，
把其中根本不可能匹配的过程省略掉，
如上表所示我们在index=2时失配，此时就可以直接把pattern移动到index=4的状态，
kmp算法就是从此出发。

二、KMP算法

1、覆盖函数(overlay_function)

覆盖函数所表征的是pattern本身的性质，可以让为其表征的是pattern从左开始的所有连续子串的自我覆盖程度。
比如如下的字串，abaabcaba

由于计数是从0始的，因此覆盖函数的值为0说明有1个匹配，对于从0还是从来开始计数是偏好问题，

具体请自行调整，其中-1表示没有覆盖，那么何为覆盖呢，下面比较数学的来看一下定义，比如对于序列

a0a1...aj-1 aj

要找到一个k,使它满足

a0a1...ak-1ak=aj-kaj-k+1...aj-1aj

而没有更大的k满足这个条件，就是说要找到尽可能大k,使pattern前k字符与后k字符相匹配，k要尽可能的大，
原因是如果有比较大的k存在，而我们选择较小的满足条件的k，
那么当失配时，我们就会使pattern向右移动的位置变大，而较少的移动位置是存在匹配的，这样我们就会把可能匹配的结果丢失。

比如下面的序列，

在红色部分失配，正确的结果是k=1的情况，把pattern右移4位，如果选择k=0,右移5位则会产生错误。
计算这个overlay函数的方法可以采用递推，可以想象如果对于pattern的前j个字符，如果覆盖函数值为k

a0a1...ak-1ak=aj-kaj-k+1...aj-1aj
则对于pattern的前j+1序列字符，则有如下可能
⑴ pattern[k+1]==pattern[j+1] 此时overlay(j+1)=k+1=overlay(j)+1
⑵ pattern[k+1]≠pattern[j+1] 此时只能在pattern前k+1个子符组所的子串中找到相应的overlay函数，h=overlay(k),如果此时pattern[h+1]==pattern[j+1],则overlay(j+1)=h+1否则重复(2)过程.

下面给出一段计算覆盖函数的代码：

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
void compute_overlay(const string& pattern)
{
    const int pattern_length = pattern.size();
    int *overlay_function = new int[pattern_length];
    int index;
    overlay_function[0] = -1;
    for(int i=1;i<pattern_length;++i)
    {
        index = overlay_function[i-1];
        //store previous fail position k to index;

        while(index>=0 && pattern[i]!=pattern[index+1])
        {
            index = overlay_function[index];
        }
        if(pattern[i]==pattern[index+1])
        {
            overlay_function[i] = index + 1;
        }
        else
        {
            overlay_function[i] = -1;
        }
    }
    for(i=0;i<pattern_length;++i)
    {
        cout<<overlay_function[i]<<endl;
    }
    delete[] overlay_function;
}
int main()
{
    string pattern = "abaabcaba";
    compute_overlay(pattern);
    return 0;
}

运行结果为：

-1
-1
0
0
1
-1
0
1
2
Press any key to continue

-------------------------------------

2、kmp算法
有了覆盖函数，那么实现kmp算法就是很简单的了，我们的原则还是从左向右匹配，但是当失配发生时，我们不用把target_index向回移动，target_index前面已经匹配过的部分在pattern自身就能体现出来，只要动pattern_index就可以了。

当发生在j长度失配时，只要把pattern向右移动j-overlay(j)长度就可以了。

如果失配时pattern_index==0，相当于pattern第一个字符就不匹配，
这时就应该把target_index加1，向右移动1位就可以了。

ok，下图就是KMP算法的过程（红色即是采用KMP算法的执行过程）：

ok，最后给出KMP算法实现的c++代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;

int kmp_find(const string& target,const string& pattern)
{
    const int target_length = target.size();
    const int pattern_length = pattern.size();
    int * overlay_value = new int[pattern_length];
    overlay_value[0] = -1;
    int index = 0;
    for(int i=1;i<pattern_length;++i)
    {
        index = overlay_value[i-1];
        while(index>=0 && pattern[index+1]!=pattern[i])
        {
            index = overlay_value[index];
        }
        if(pattern[index+1]==pattern[i])
        {
            overlay_value[i] = index +1;
        }
        else
        {
            overlay_value[i] = -1;
        }
    }
    //match algorithm start
    int pattern_index = 0;
    int target_index = 0;
    while(pattern_index<pattern_length&&target_index<target_length)
    {
        if(target[target_index]==pattern[pattern_index])
        {
            ++target_index;
            ++pattern_index;
        }
        else if(pattern_index==0)
        {
            ++target_index;
        }
        else
        {
            pattern_index = overlay_value[pattern_index-1]+1;
        }
    }
    if(pattern_index==pattern_length)
    {
        return target_index-pattern_index;
    }
    else
    {
        return -1;
    }
    delete [] overlay_value;
}

int main()
{
    string source = " annbcdanacadsannannabnna";
    string pattern = " annacanna";
    cout<<kmp_find(source,pattern)<<endl;
    return 0;
}
//运行结果为 -1.

三、kmp算法的来源
kmp如此精巧，那么它是怎么来的呢，为什么要三个人合力才能想出来。其实就算没有kmp算法，人们在字符匹配中也能找到相同高效的算法。这种算法,最终相当于kmp算法，只是这种算法的出发点不是覆盖函数，不是直接从匹配的内在原理出发，而使用此方法的计算的覆盖函数过程序复杂且不易被理解，但是一但找到这个覆盖函数，那以后使用同一pattern匹配时的效率就和kmp一样了，其实这种算法找到的函数不应叫做覆盖函数，因为在寻找过程中根本没有考虑是否覆盖的问题。

说了这么半天那么这种方法是什么呢，这种方法是就大名鼎鼎的确定的有限自动机(Deterministic finite state automaton DFA),DFA可识别的文法是3型文法，又叫正规文法或是正则文法，既然可以识别正则文法，那么识别确定的字串肯定不是问题(确定字串是正则式的一个子集)。对于如何构造DFA,是有一个完整的算法，这里不做介绍了。在识别确定的字串时使用DFA实在是大材小用，DFA可以识别更加通用的正则表达式，而用通用的构建DFA的方法来识别确定的字串，那这个overhead就显得太大了。

kmp算法的可贵之处是从字符匹配的问题本身特点出发，巧妙使用覆盖函数这一表征pattern自身特点的这一概念来快速直接生成识别字串的DFA,因此对于kmp这种算法，理解这种算法高中数学就可以了，但是如果想从无到有设计出这种算法是要求有比较深的数学功底的。

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