四平方和(第七届蓝桥杯省赛)

本文介绍了一种解决四数之和问题的高效算法。通过使用哈希表存储部分求和结果,将原始的四重循环优化为两个二重循环,显著降低了时间复杂度。文章提供了详细的C++实现代码。

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题目描述:


思路:

一开始想到的便是四重for循环,但时间复杂度太大,会超时,本题可将c,d值的平方和放入哈希表中,然后以c作为value标记这个平方和,这时可将四重循环分解为两个二重循环,以空间换时间。

具体代码如下:

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<unordered_map>
using namespace std;
int main()
{
	unordered_map<int ,int> map;
	int a, b, c, d, n;
	cin >> n;
	for(c = 0; c*c <= n / 2; c++) //枚举c,d
	  for(d = c ; d*d <= n; d++)
	  {
	    if(map.find(c*c + d*d) == map.end()) //若哈希表中没有c,d的平方和这个值,就将它存入,并用c标记
		map[c*c + d*d] = c;    // 每个平方和就对应一个c值,注意这里的c值可对应多个平方和
	  }
        
	for(a = 0; 4*a*a <= n; a++)
		{
		    for(b = a; 3*b*b <= n ; b++)
		    {
			if(map.find(n - a*a - b*b) != map.end()) //如果n - 较小的前两项平方和 的值可在哈希表中找到,就将对应的值赋给c
			{
			 c = map[n - a*a -b*b];
			 d = int(sqrt(n - a*a - b*b - c*c) + 1e-3); 
			cout << a << ' ' << b << ' ' << c << ' ' << d << endl;
			return 0; //跳出两个循环
			}
		    }
		}
   return 0;
}

### 关于蓝桥杯中的四平方和问题 #### 四平方和定理简介 四平方和定理指出,任何正整数都可以表示成最多个整数的平方之和。对于给定的一个正整数 \( N \),目标是找到满足条件的一非负整数 \(a, b, c,\) 和 \(d\) ,使得: \[ N = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \] 其中 \( 0 \leq a \leq b \leq c \leq d \)[^2]。 #### 解题思路 为了高效解决这个问题,可以采用以下策略: - 使用暴力枚举的方法来尝试所有可能的合。 - 减少不必要的计算量,通过提前终止循环或剪枝优化性能。 - 输出符合条件的第一个解即可停止进一步搜索。 具体来说,在遍历过程中一旦找到了一合适的数值即返回结果;同时注意保持输出顺序为升序排列。 #### Python代码示例 下面是一个简单的Python函数用于求解该问题: ```python import math def find_four_squares(n): for i in range(int(math.sqrt(n)), -1, -1): # 遍历i从sqrt(n)到0 j_max = int(math.sqrt(n - i * i)) for j in range(j_max, -1, -1): # 遍历j从剩余部分的最大值到0 k_max = int(math.sqrt(n - i * i - j * j)) for k in range(k_max, -1, -1): # 同样地处理k l = int(math.sqrt(n - i * i - j * j - k * k)) if i*i + j*j + k*k + l*l == n: return sorted([i,j,k,l]) # 返回排序后的列表 n = int(input()) result = find_four_squares(n) print(' '.join(map(str, result))) ``` 此段代码实现了上述提到的核心逻辑,并且能够正确处理题目描述的情况。当用户输入一个具体的\(N\)时,这段程序会给出相应的解答并按照要求格式化输出。
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