CF：D. Toss a Coin to Your Graph...（二分+拓扑判环）

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本文介绍了一种算法，用于在一个有向图中寻找长度为k的路径，目标是最小化经过路径中点权的最大值。通过二分查找和图的子集构建，结合拓扑排序判断环，解决了一个关于图论的优化问题。

题目链接
$题意：$
给定一个有向图。 $n$ 个点， $m$ 条有向边，和一个限制的 $k$ 。第二行输入 $n$ 个数字，代表每个点的点权 $a [i]$ 。找出一条长度为 $k$ 的路径，使得所有经过点的点权的最大值最小。
$题解：$
二分答案，记为mid。然后对于点权大于mid的点不去遍历。只遍历点权小于等于mid的点。并判断这个图是否存在链长大于等k的链，或者是存在环。
如何只遍历小于等于mid的点呢：记录每条边，对于每次的mid，去建一个新的图。然后在这个图中跑。
判环：用拓扑排序来判环。当从队列中出来后，若发现没有遍历所有可行点，说明该图不存在环。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ios ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
typedef long long LL;
const int maxn=2e5+5;
int n,m,idx;LL k;
int a[maxn];
int h[maxn];
int din[maxn];
int que[maxn];
bool flag[maxn];
int f[maxn];
struct Segment{
    int u,v;
}seg[maxn];
struct Edge{
    int v,nxt;
}edge[maxn];
void add(int u,int v){
    edge[idx].v=v;
    edge[idx].nxt=h[u];
    h[u]=idx++;
}
bool check(int mid){
    memset(flag,false,sizeof(flag));
    memset(f,0,sizeof(f));
    int cnt=0,hh=0,tt=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(a[i]<=mid){
            cnt++;
        }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]>mid) continue;
        if(!din[i]){
            que[++tt]=i;
            f[i]=1;
            flag[i]=true;
            cnt--;
        }
    }
    while(hh<=tt){
        int u=que[hh++];
        for(int i=h[u];~i;i=edge[i].nxt){
            int v=edge[i].v;
            if(flag[v]) continue;
            din[v]--;
            f[v]=max(f[v],f[u]+1);
            if(!din[v]){
                que[++tt]=v;
                flag[v]=true;
                cnt--;
            }
        }
    }
    if(cnt) return true;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(f[i]>=k)
            return true;
    return false;
}
void init(int mid){
    memset(h,-1,sizeof(h));
    memset(din,0,sizeof(din));
    idx=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=seg[i].u,v=seg[i].v;
        if(a[u]>mid||a[v]>mid) continue;
        add(u,v);
        din[v]++;
    }
}
void solve(){
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u,v;
        cin>>u>>v;
        seg[i]={u,v};
    }
    int l=1,r=1e9,ans=-1;
    while(l<=r){
        int mid=l+r>>1;
        init(mid);
        bool is_flag=check(mid);
        if(is_flag) ans=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    cout<<ans<<'\n';
}
int main(){
    ios;
    int t;t=1;
    while(t--) solve();
    return 0;
}