【算法优选】优先级队列(堆)的经典应用

掌握优先级队列的核心思想,高效解决TopK/中位数等高频算法问题!


一、最后一块石头的重量

问题描述

每次选择最重的两块石头碰撞,若重量相同则消失,不同则留下差值。求最终剩余石头的重量。

示例
输入:[2,7,4,1,8,1] → 碰撞过程:

  1. 8 vs 7 → 余1 → [2,4,1,1,1]
  2. 4 vs 2 → 余2 → [1,1,1,2]
  3. 2 vs 1 → 余1 → [1,1,1]
  4. 1 vs 1 → 消失 → 最终结果:1

解题思路

  1. 大顶堆存储:将所有石头放入大顶堆(Java的PriorityQueue默认小顶堆,需重写比较器)
  2. 循环碰撞:每次弹出堆顶两个元素进行碰撞
  3. 差值入堆:若碰撞后剩余重量>0,将差值重新入堆
  4. 终止条件:堆中元素≤1时停止

代码实现

class Solution {
    public int lastStoneWeight(int[] stones) {
        PriorityQueue<Integer> heap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a); // 大顶堆
        for (int stone : stones) heap.offer(stone);
        
        while (heap.size() > 1) {
            int y = heap.poll(); // 最重石头
            int x = heap.poll(); // 次重石头
            if (y > x) heap.offer(y - x); // 碰撞后剩余
        }
        return heap.isEmpty() ? 0 : heap.peek();
    }
}

二、数据流中的第 K 大元素

问题特点

  • 动态数据流:持续添加新元素
  • 实时获取当前第K大的元素

解决方案:小顶堆维护TopK

  1. 初始化:创建大小为K的小顶堆
  2. 添加元素
    • 堆未满时直接入堆
    • 堆满后,若新元素>堆顶则替换堆顶
  3. 获取结果:堆顶即第K大元素

复杂度分析

  • 时间复杂度:add()操作O(log⁡K)O(\log K)O(logK)get()操作O(1)O(1)O(1)
  • 空间复杂度:O(K)O(K)O(K)
class KthLargest {
    private final PriorityQueue<Integer> minHeap;
    private final int k;

    public KthLargest(int k, int[] nums) {
        this.k = k;
        minHeap = new PriorityQueue<>();
        for (int num : nums) add(num); // 复用添加逻辑
    }
    
    public int add(int val) {
        if (minHeap.size() < k) {
            minHeap.offer(val);
        } else if (val > minHeap.peek()) {
            minHeap.poll();      // 移除堆顶
            minHeap.offer(val);  // 加入新元素
        }
        return minHeap.peek();
    }
}

三、前K个高频单词

双关键排序挑战

  1. 频率降序:出现次数多的在前
  2. 字典序升序:频率相同时按字母顺序排序

解题步骤

  1. 统计频率:HashMap记录单词出现次数
  2. 堆排序
    • 小顶堆维护TopK(按频率升序/字典序降序)
    • 自定义比较器实现双条件排序
  3. 结果反转:堆中元素弹出后需反转顺序

核心比较器

Comparator<String> comp = (a, b) -> 
    map.get(a).equals(map.get(b)) ? 
        b.compareTo(a) : // 频率相同:按字典序降序(Z->A)
        map.get(a) - map.get(b); // 频率升序

完整代码

class Solution {
    public List<String> topKFrequent(String[] words, int k) {
        Map<String, Integer> map = new HashMap<>();
        for (String word : words) 
            map.put(word, map.getOrDefault(word, 0) + 1);
        
        // 小顶堆:频率升序,字典序降序
        PriorityQueue<String> heap = new PriorityQueue<>(
            (a, b) -> map.get(a).equals(map.get(b)) ? 
                b.compareTo(a) : map.get(a) - map.get(b)
        );
        
        for (String word : map.keySet()) {
            heap.offer(word);
            if (heap.size() > k) heap.poll(); // 维护堆大小
        }
        
        // 反转结果
        LinkedList<String> res = new LinkedList<>();
        while (!heap.isEmpty()) res.addFirst(heap.poll());
        return res;
    }
}

四、数据流的中位数

核心难点

动态数据流中实时获取中位数,需同时支持:

  1. 快速插入:添加新元素
  2. 快速查询:获取当前中位数

双堆平衡策略

数据结构存储内容特点
大顶堆较小的一半数据堆顶是左半段最大值
小顶堆较大的一半数据堆顶是右半段最小值

操作规则

  1. 添加元素
    在这里插入图片描述

  2. 获取中位数

    • 总数为奇:大顶堆堆顶
    • 总数为偶:两堆堆顶平均值

代码实现

class MedianFinder {
    private final PriorityQueue<Integer> maxHeap; // 存储较小值
    private final PriorityQueue<Integer> minHeap; // 存储较大值

    public MedianFinder() {
        maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a); 
        minHeap = new PriorityQueue<>();
    }
    
    public void addNum(int num) {
        // 选择插入堆
        if (maxHeap.isEmpty() || num <= maxHeap.peek()) {
            maxHeap.offer(num);
        } else {
            minHeap.offer(num);
        }
        
        // 平衡堆大小
        if (maxHeap.size() > minHeap.size() + 1) {
            minHeap.offer(maxHeap.poll());
        } else if (minHeap.size() > maxHeap.size()) {
            maxHeap.offer(minHeap.poll());
        }
    }
    
    public double findMedian() {
        if (maxHeap.size() > minHeap.size()) {
            return maxHeap.peek();
        }
        return (maxHeap.peek() + minHeap.peek()) / 2.0;
    }
}

复杂度分析

操作时间复杂度空间复杂度
添加元素O(log⁡N)O(\log N)O(logN)O(N)O(N)O(N)
查询中位数O(1)O(1)O(1)-

堆的本质是部分有序的结构化思维,在动态数据场景中,它能以最低成本维护关键有序信息。掌握这四类经典问题,即可解决90%优先级队列相关算法题!

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