九度OJ 1084 整数拆分

最新推荐文章于 2022-03-14 17:22:33 发布

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本文介绍了一种高效计算整数不同拆分方案数量的方法，并提供了一个C++实现示例。通过对奇偶数拆分规律的观察，实现了快速计算任意整数（不超过100万）的拆分方案数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述：

一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如：
7=1+2+4
7=1+2+2+2
7=1+1+1+4
7=1+1+1+2+2
7=1+1+1+1+1+2
7=1+1+1+1+1+1+1
总共有六种不同的拆分方式。
再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。
用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6.
要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。

输入：

每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。

输出：

对于每组数据，输出f(n)%1000000000。

样例输入：

样例输出：

这道题技巧性非常强，就是列出前几个的值，然后找规律。

当N为奇数时，只是在前一个偶数的基础上加了个1，所以对于拆分数并没有影响，所以f(N) = f(N-1)

当N为偶数时，有两种情况，一种是包含1的，另一种是不包含1的。前一种和f(N-1)是类似的，后一种情况，把每个数都除以2，是不是就是f(N/2),举个例子，8 的拆分数除了包含1的，也就是在7的拆分数基础上，在每个式子右边加个1.还包括另一种情况：

不包含1的，这种情况类似于4的拆分数。

因为

4 = 4

4 = 2 + 2

4 = 2 + 1 + 1

4 = 1 + 1 + 1 + 1

那么对应着8的第二种情况的拆分数就是：

8 = 8

8 = 4 + 4

8 = 4 + 2 + 2

8 = 2 + 2 + 2 + 2,这几种情况就是在4的拆分情况中将每个数乘以2. 但是它们的拆分数是一样的。

还有一点，题目中说的N最大可以到1000000，但是在我的编译器Dev C++里面，只要一执行int f[1000000],立马奔溃，泪奔。

#include <iostream>
using namespace std;

#define mod 1000000000

int main(){
	int N;
	int f[1000002];
	f[0] = f[1] = 1;
	for(int i=1;i<=500000;i++){
		f[2*i] = (f[2*i-1] + f[i])%mod;
		f[2*i+1] = f[2*i];
	}
	while(cin>>N){
		cout<<f[N]<<endl;
	}
	return 0;
}