Dijkstra's Shortest Path - C++ for C Programmers 2.5

课程来自：https://class.coursera.org/cplusplus4c-002/lecture

这节课讲述的是Dijkstra最短路径算法的具体实现。

Dijkstra最短路径算法是贪心算法的一个实例，给定一个权值不为负的图，出发点s以及目的点t，要求s到t的最短路径。

核心步骤是：每次都选取离s最近的且没有被关闭的点将其关闭。

数组约定:  dist[i]表示i号点到s点的最短距离，prev[i]表示i号点的前驱点，closed[i]为true表示i号点已被关闭

起始状态：设定关闭点集合closed[ ]，利用图给数据初始化所有与s直接相连的点i距离dist[ ]，并将它们的先驱点prev[ ]设为s，将s关闭

循环步骤：A. 遍历所有没关闭的点，求出其中dist最小的那个，设为它的后继点ssr，将ssr关闭(ssr为t时停止循环)

                  B. 遍历所有没关闭的点，如果（它的dist）小于（ssr的dist加上从ssr到它的距离），说明ssr的加入导致它的dist减小，更新它的dist，并将其prev改为ssr

结束步骤：最小距离为dist[t]，建立一个栈按prev输出路径.

最短路径有最优子结构性质，假设最后得到的路径最短，那么它的每个子路径也是最短，因为如果不是这样就存在更好的子结构，将这个子结构替换成那个更好的子结构后这个路径总体还会更优，这就产生矛盾了。（这个性质说明贪心算法非常适合解决这个问题）

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;
const int MAX = 0x3f3f3f3f;
const int NUM = 7;

int Dijkstra(int Graph[][NUM], int s, int t)
{
	int dist[NUM], prev[NUM];
	bool closed[NUM];
	for (int i = 1; i < NUM; ++i)
	{
		if (i == s)
		{
			dist[i] = 0;
			closed[i] = true;
			prev[i] = i;
		}
		else
		{
			dist[i] = Graph[s][i];
			closed[i] = false;
			if (Graph[s][i]<MAX)
				prev[i] = s;
		}
	}

	do
	{
		int ssr;
		int mindist = MAX;
		for (int i = 1; i < NUM; i++)
		{
			if (!closed[i] && mindist>dist[i])
			{
				ssr = i;
				mindist = dist[i];
			}
		}
		closed[ssr] = true;
		for (int i = 1; i < NUM; i++)
		{
			if (!closed[i] && dist[i]>dist[ssr] + Graph[ssr][i])
			{
				dist[i] = dist[ssr] + Graph[ssr][i];
				prev[i] = ssr;
			}
		}
	} while (!closed[t]);

	stack<int> output;
	int p = t;
	for (;;)
	{
		output.push(p);
		p = prev[p];
		if (p == s)
		{
			output.push(p);
			break;
		}
	}
	int k = output.size();
	for (int i = 0; i < k - 1; ++i)
	{
		printf("%d -> ", output.top());
		output.pop();
	}
	printf("%d\n", t);
	return dist[t];
}

int main()
{
	int Graph[NUM][NUM] = {
		0,0,0,0,0,0,0,
		0,0,4,3,2,MAX,MAX,
		0,4,0,4,MAX,2,MAX,
		0,3,4,0,6,5,3,
		0,2,MAX,6,0,MAX,12,
		0,MAX,2,5,MAX,0,8,
		0,MAX,MAX,3,12,8,0
	};
	int dist = Dijkstra(Graph, 1, 6);
	printf("The minimum distance is %d.\n", dist);
	return 0;
}