时间复杂度详解-优快云博客

时间复杂度定义：

如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。
当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。

计算方法：

1. 找到执行次数最多的语句
2. 计算语句执行次数的数量级
3. 用大O来表示结果

O(1)
交换i和j的内容
temp=i;
i=j;
j=temp;

以上三条单个语句的频度为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n2)
    sum=0；                /* 执行次数1 */
    for(i=1;i<=n;i++)
       for(j=1;j<=n;j++)
         sum++；       /* 执行次数n2 */
解：T(n) = 1 + n2 = O(n2)

   for (i=1;i<n;i++)
   {
       y=y+1;        ①
       for (j=0;j<=(2*n);j++)
          x++;        ②
   }
解：语句1的频度是n-1
         语句2的频度是(n-1)*(2n+1) = 2n2-n-1
         T(n) = 2n2-n-1+(n-1) = 2n2-2
         f(n) = n2
         lim(T(n)/f(n)) = 2 + 2*(1/n2) = 2
         T(n) = O(n2).

例子：
O(n)
   a=0;
   b=1;                     ①
   for (i=1;i<=n;i++) ②
   {
      s=a+b;　　　　③
      b=a;　　　　　④
      a=s;　　　　　⑤
   }
解：语句1的频度：2,
         语句2的频度：n,
         语句3的频度：n,
         语句4的频度：n,
         语句5的频度：n,
         T(n) = 2+4n
         f(n) = n
         lim(T(n)/f(n)) = 2*(1/n) + 4 = 4
         T(n) = O(n).

O(log2n)
   i=1;       ①
   while (i<=n)
      i=i*2; ②
解：语句1的频度是1,
       设语句2的频度是t, 则：nt<=n; t<=log2n
       考虑最坏情况，取最大值t=log2n,
        T(n) = 1 + log2n
        f(n) = log2n
        lim(T(n)/f(n)) = 1/log2n + 1 = 1
        T(n) = O(log2n)

O(n3)
   for(i=0;i<n;i++)
   {
      for(j=0;j<i;j++)
      {
         for(k=0;k<j;k++)
            x=x+2;
      }
   }
解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次
T(n) = n(n+1)(n-1)/2 = (n3-n)/2
f(n) = n3
所以时间复杂度为O(n3)。