pku 3533 Light Switching Game(nim 积)

 第一个nim积题目。nim积与nim和够成一个正整数域上的群。nim积用⊗表示，nim和用⊕表示。
和乘法类似：
    x⊗1=1⊗x=x
    y⊗0=0
    (x⊗y)⊗z=x⊗(y⊗z)
⊕是异或运算。⊗的运算法则定义为:

   1.The nimber product of distinct Fermat 2-powers (numbers of the form ) is equal to their ordinary product
   2.The nimber square of a Fermat 2-power x is equal to 3x/2 as evaluated under the ordinary multiplication of natural numbers.
  这是维基百科上的定义，Fermat 2-powers前几个数是:2,4,16,256 ...
  (1)对任意的x如果不是2的幂形式，就要把它化为二进制和的形式如:3=2+1,同样y也这么处理。利用分配率，可以得到logn个2^a⊗2^b相加的式子.
  (2)再定义个函数来处理2的幂相乘的情况，将2^a化成Fermat 2-power相乘的形式，把2^a和2^b中不同的相直接相乘，而相同的项根据定义2，该项乘3/2.这样得到了一些一般的数，在调用(1)中的函数。
可以看到这两个函数是相互嵌套这的。