并查集——在线等价类与离线等价类

在线等价类：

解决问题

1. 合并两个类为一个类：

   通过union操作实现；

2. 判断两个类是否在同一个类中：

   借用find操作找到节点的根，再进行判断

首先我们给节点编号1~n作为索引一边处理

基本c++实现

class BCJ
{
private:
	int n; 
	int *parent;	
	//n 是节点总数；建立一维数组parent，记录某节点的父亲节点（规定根节点的父亲是 0 ） 
public:
	//初始化每个节点的parent为0（表示每个节点初始都是一个集合） 
	BCJ()
	{
		int *parent = new int[n+1];
		for(int i=1;i<=n;i++)
		parent[i]=0;
	}
	//Union(i,j)操作，是把根为i, j 的两棵树进行合并 
	void Union(int i, int j)
 	{
 		parent[j] = i; 
 		//这里是把根为 j 的子树合并到根为 i 的子树上合并后的根为 i 
 	}
 	//Find（i）操作，返回节点 i 的 根节点 
 	int Find(int i)
	{	//因为parent里存的是每个节点的父亲节点，所以不断向上回溯，
		//直到找到根节点<其父亲为0> ） 
 		while(parent[i] != 0)
			i=parent[i];
		return i;
	}	
} ;

优化

分析Find（i）操作，如果树很高的话，其操作效率下降许多，访问次数是从根到节点i的高度；
so,我们可以使用下述方法对其进行优化：

1. 重量规则：在Union操作中，将两棵子树中节点较多的子树的根作为新树的根节点
2. 高度规则：在Union操作授内阁，将两棵子树中高度较高的子树作为新树的根节点

路径压缩：缩短元素 i 到达根节点的路径。
方法有三种：

1. 紧凑路径发、
2. 路径分割法、
3. 路径对折。

---

下面是C++实现

class betterBCJ
{
private:
	int n; 
	int *parent, *root;	
	//n 是节点总数；建立一维数组parent，记录某节点的父亲节点（规定根节点的父亲是 0 ） 
public:
	//初始化每个节点的parent为0（表示每个节点初始都是一个集合） 
	betterBCJ()
	{
		parent = new int[n+1];
		root = new int[n+1];
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			parent[i]=1;
			root[i]=true;
		}
	}
	//Union(i,j)操作，是把根为i, j 的两棵树进行合并 
	void Union(int i, int j)
 	{	//重量规则 
 		if(parent[i] < parent[j])
 		{
 			parent[j] += parent[i];
			root[i]=false;	
			parent[i]=j;
		}//把根为 i 的子树合并到根为 j 的子树上
		else
		{
			parent[i]+=parent[j];
			root[j]=false;
			parent[j]=i;
		}//把根为 j 的子树合并到根为 i 的子树上
 		//这里是把根为 j 的子树合并到根为 i 的子树上合并后的根为 i 
 	}
 	//Find（i）操作，返回节点 i 的 根节点 
 	int Find(int i)
	{	//因为parent里存的是每个节点的父亲节点，所以不断向上回溯，
		//直到找到根节点<其父亲为0> ） 
 		int j=i;
		while( !root[j])
			j=parent[j];
		int f=i;
		while(i != j)
		{
			f=parent[i];
			parent[i]=j;
			i=f;
		  }  
		return j;
	}	
} ;