数据结构与算法学习（第三天）_在一家网上书店,每本书的价格都存储在一个二叉搜索树-优快云博客

文章详细介绍了树的基本概念，包括有序树和无序树，重点讨论了二叉树的各种类型如完全二叉树和满二叉树。阐述了完全二叉树的性质以及节点数与高度的关系，并提供了非递归遍历的方法。此外，文章还讲解了AVL树的平衡概念、失衡情况及修复策略，强调了其在优化搜索性能上的作用。

树形结构

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生活中的树形结构

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树的基本概念1

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其中子树可以从子节点的个数入手，如2节点的子树个数为2（见下图）

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树的基本概念2

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有序树，无序树，森林

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二叉树

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二叉树的性质

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真二叉树

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满二叉树

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完全二叉树

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完全二叉树的性质

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完全二叉树高度与节点数之间的关系应该牢记，同时树上节点与其父节点、左子节点、右子节点编号之间的关系也应该牢记

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上图编号从1开始，若编号从0开始（见下图），则公式有所变化，这个需要实际运用时灵活变通

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做道面试题

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这道题目使用好完全二叉树边数与节点数之间的关系，可以得出n0 = n2+1，还要注意的是完全二叉树的n1（度为1的节点数）要么是0要么是1。有上述分析，相信后面得出答案是十分简单的。

国外教材的说法

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二叉树的遍历

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前序遍历

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前序遍历非递归实现

方法一：

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方法二：

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中序遍历

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中序遍历非递归

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后序遍历

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后序遍历非递归

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层序遍历

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三种四则运算

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表达式数

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遍历的应用

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刷几道leetcode题

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方法一（深度优先搜索）：

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
    public int maxDepth(TreeNode root) {
        if(root == null)
            return 0;
        int lh = maxDepth(root.left);
        int rh = maxDepth(root.right);
        return Math.max(lh,rh)+1;
    }
}

方法二（广度优先搜索）：

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
    public int maxDepth(TreeNode root) {
        if(root == null)
            return 0;
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<TreeNode>();
        queue.offer(root);
        int ans = 0;
        while(!queue.isEmpty()){
            int size = queue.size();
            while(size>0){
                TreeNode node = queue.poll();
                size--;
                if(node.left!=null)
                    queue.offer(node.left);
                if(node.right!=null)
                    queue.offer(node.right);
            }
            ans++;
        }

        return ans;
    }
}

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这题目跟上题其实十分类似，我这里就用一下深搜吧

提交的答案

class Solution {
    public int countNodes(TreeNode root) {
        if(root == null)
            return 0;
        int lnode_num = countNodes(root.left);
        int rnode_num = countNodes(root.right);
        return lnode_num + rnode_num + 1;
    }
}

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提交的答案

class Solution {
    public TreeNode invertTree(TreeNode root) {
        if(root == null)
            return null;
        TreeNode left = invertTree(root.left);
        TreeNode right = invertTree(root.right);
        root.right = left;
        root.left = right;
        return root;
    }
}

重构二叉树

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说白了就是能否根据遍历结果推出唯一的二叉树
通过先序或后序遍历确定根节点，并通过中序遍历的结果，就能确定左右子树的元素。这方面自己做几道例题都能清楚了。

二叉搜索树

二叉搜索树比起动态数组来说，时间复杂度上有了很大的优化（见下图）
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二叉搜索树的性质
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二叉树搜索树添加节点

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删除度为0的叶子节点

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删除度为1的节点

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删除度为2的节点

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前驱节点和后继节点

前驱节点：二叉树中序遍历时的前一个节点，二叉搜索树中左子树的最大节点
后继节点：二叉树中序遍历时的后一个节点，二叉搜索树中右子树的最小节点

平衡二叉搜索树

二叉搜索树存在一个问题，由于插入的顺序可能导致二叉搜索树退化成链表

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由此引入了平衡的概念

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二叉搜索树的改进

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AVL树

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添加导致的失衡

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添加导致失衡的修复

下图中n的意思是node，p的意思是parent，g的意思是grandparent（添加导致失衡的节点）
LL指的是n在g的左左
LL可以通过对g进行右旋转修复（具体过程自己找视频看吧，文字难以解释）
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RR的情况则对g节点进行左旋转

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LR，先对p节点进行左旋转，再对g节点进行右旋转

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RL，先对p节点进行右旋转，再对g节点进行左旋转
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zig和zag

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删除导致的失衡

zxcvbnm
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失衡后的恢复同样是通过判断LL、RR、LR、RL四种情况进行恢复

AVL树总结

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刷道leetcode

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提交的答案

class Solution {
    public int height(TreeNode root){
        if(root == null)
            return 0;
        int lh = height(root.left);
        int rh = height(root.right);
        return Math.max(lh,rh) + 1;
    }

    public boolean isBalanced(TreeNode root) {
        if(root == null)
            return true;
        return ((Math.abs(height(root.left) - height(root.right)) <= 1) && isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right));
    }
}