【数学】最小二乘法

最新推荐文章于 2025-05-14 11:08:18 发布
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本文深入探讨了最小二乘法这一数学优化技术在平面度算法中的应用。通过计算点集到拟合平面距离的最小值，确定最佳平面。最小二乘法不仅简化了未知数据的求解过程，还确保了数据与实际测量值之间的误差平方和达到最小，适用于曲线拟合等场景。

最小二乘法

1、平面度算法
有一堆点，计算到拟合平面的距离最小的平面就是得到的平面，那么离最远的点的距离是就是平面度
2、最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。

使用最小二乘法进行平面拟合
TechPulseZ的博客
08-15 1610
平面拟合是其中一种应用，它可以通过对给定的三维数据点集进行拟合，找到一个最适合这些点的平面模型。首先，我们需要明确问题的目标：给定一组三维数据点，找到最佳拟合平面，使得该平面尽可能接近这些数据点。以上代码实现了最小二乘法的平面拟合算法，通过给定的数据点集，输出了最佳拟合平面的法向量和平面上的一点坐标。特征值越小，表示该特征向量对于数据点的拟合误差越小，因此选择最小特征值对应的特征向量作为平面的法向量。平面上的一点坐标可以通过任选一个数据点的坐标进行计算，这里选择质心坐标作为平面上的一点坐标。
eXcel最小二乘法计算平面度工式分析.xls
最新发布
08-23
在工程技术领域，平面度是指一个平面各点相对于理想平面的最大偏差值。它的测量和计算对机械加工、制造和质量控制尤为重要。最小二乘法是数学中一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。在平面度的计算中，最小二乘法能够帮助工程师确定最接近测量点的理想平面。 在Excel中进行最小二乘法计算平面度，首先需要建立数学模型来描述这个平面。通常，平面可以用以下方程表示： \[z = ax + by + c\] 其中，\(z\)是平面的高度，\(x\)和\(y\)是平面上点的坐标，\(a\)、\(b\)和\(c\)是待求解的参数，它们分别代表平面的斜率和截距。 为了使用最小二乘法，需要有一组实际测量点的数据。这些数据包括每个测量点的\(x\)、\(y\)坐标以及对应的高度\(z\)。将这些数据输入到Excel中，并在相应的单元格中设置好坐标和高度值。 接下来，要设定目标函数，即需要最小化的误差平方和。对于每个测量点，其实际高度与通过\(ax + by + c\)计算得出的理论高度之间的差值的平方就是误差的平方。目标函数就是所有误差平方的和，数学上表示为： \[S = \sum_{i=1}^{n} (z_i - ax_i - by_i - c)^2\] 其中，\(S\)表示误差平方和，\(n\)是测量点的总数，\(z_i\)、\(x_i\)和\(y_i\)分别是第\(i\)个点的\(z\)、\(x\)和\(y\)坐标值。 为了求解参数\(a\)、\(b\)和\(c\)，需要对目标函数\(S\)关于这三个参数分别求偏导数，并令偏导数等于零。通过这样的操作，可以得到三个线性方程，从而形成一个线性方程组。解这个方程组就可以得到参数\(a\)、\(b\)和\(c\)的值。 在Excel中，可以利用内置函数如“SUMSQ”和“LINEST”等快速求解最小二乘法问题。例如，“LINEST”函数能够返回最小二乘法线性回归的参数以及其他统计信息。通过适当的单元格公式设定，可以求得平面度分析所需的最佳拟合平面参数\(a\)、\(b\)和\(c\)。 计算出最佳拟合平面的参数后，可以进一步计算出平面度。平面度通常被定义为各测量点高度\(z\)与理想平面高度\(ax + by + c\)的最大偏差值。确定出这个最大偏差值后，工程师就能够评估实际平面与理想平面之间的差异，进而作出相应的加工或调整决策。 总结以上分析，最小二乘法在Excel中的应用使得计算平面度变得更加高效和准确。通过建立适当的数学模型，输入实测数据，然后运用Excel内置的统计函数，可以轻松地求出拟合平面的参数，进而评估平面度，为机械加工和质量控制提供了重要的数据支持。
python最小二乘法三维坐标拟合平面-最小二乘法拟合平面
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最小二乘法计算平面度
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