C++实现二维快速傅里叶变换（FFT）

       上一篇文章里，我根据DFT公式用C++实现了二维离散傅里叶变换。但跑一张300*300的图片都要好几分钟，速度实在太慢了。我研究了下快速傅里叶变换，在网上找了一些资料，然后用C++实现了二维快速傅里叶变换，速度超级快，512*512的图片在0.1秒内就能处理完。

FFT原理

我们知道一维离散傅里叶变换公式如下

 其中。

用矩阵表示即为：

这样就有N*N次乘法计算，很耗时。可以通过一些方式减小计算量。

由于是个周期函数，有如下两个性质

这样

 

从上面两个式子可以看出，

我们只要分别计算奇数项的DFT值

 

和偶数项的DFT值，

 

然后再通过一些加减，得到整体DFT的值X(k),乘法计算量大致就是(N/2)*(N/2)+N/2)*(N/2)=N*N/2。是之前的一半。

依次类推，奇数项和偶数项计算DFT值，也可以通过上面的方法，这样乘法计算量就每次除以2的降低。只要N满足是2的n次方，减到最后，计算量就减少2的n次方倍。

例如以下8个点计算FFT

 FFT方法一：

分析可知，可以通过递归实现这种算法。

C++代码如下

void fft(vector<Cpx>& a, int lim, int opt)
{
	if (lim == 1) return;
	vector<Cpx>