运煤车的最大路程

用重载列车运煤，每次可装1万吨，每行驶1公里耗煤1吨，起点处共有N万吨煤（简单起见N为正整数），请问最远可运至何处（是国营煤老板，成本不计，只要运到的数量大于0就算成功）？并求N→∞时的渐进形式。

分析：
说白了，这个问题就是问火车最远可以走多远，问题的关键是要尽可能地消耗完所有的煤。为了达成这个目的，需要来回多趟，并且尽可能用满列车的运载量。还有一个要求，就是不要在同一段路上消耗太多的煤。（即来回的次数尽可能少，下面的错误解法的错误就在于在前面的路消耗了太多的煤。）

得益于伍岭博友的启示，最优的做法应该是“逐步推进”，也就是说先把煤集中运到前方的一个点上（运输过程中会有消耗），然后再从前方的那个点出发，把煤运输到更前方的一个点上，如此重复下去，就得到最远的距离。下面对这个过程进行分析。

题目假设了N是正整数，当然，就算N不是整数也可以进行同样的分析。（事实上，假设N是整数并没有带来太大的方便。）我们这里用到“上取整函数”⌈x⌉，定义为不小于x的最小整数。

从原点出发，每次运输1万吨，运输到前方y万公里处，共来回运输⌈N⌉−1次，每次卸下一部分煤后，回到原点刚好消耗完。最后一次不用返回去，所以经过这样一折腾，火车在距离原点y处，并且那里剩下的煤量为
(⌈N⌉−1)(1−2y)+N+1−⌈N⌉−y=N+y−2y⌈N⌉

每一段路都是重复这个过程，用Ni表示每次剩下的煤量，用yi表示每次前进的路程，于是
Ni=Ni−1+yi−1−2yi−1⌈Ni−1⌉; i=1,2,…,N; N0=N

这是一个带有取整函数的递推问题，同时带有可调参数yi。稍微经过分析就可以发现，每一段路中，都是越靠近原点的那一段路，平均耗煤量越大。因此，每个yi都是越小越好，因此，最优的情况是所有的yi都有yi→0。

这是这样的一个过程：运煤，然后走一丁点的距离，卸煤，回去，然后运煤，走一丁点的距离，卸煤，回去。严格意义上来说，这种运作是无法实现的。但是，这不妨碍我们在数学上理解它。另一方面，连续的结果也可以作为离散的一个近似。那么
Ni−Ni−1yi−1=1−2⌈Ni−1⌉

当yi−1→0时，记Ni=N(s)，s是到起点的距离，由导数的定义得
dN(s)ds=1−2⌈N(s)⌉

这是一道带有取整函数的微分方程。虽然取整函数使得我们不能直接应用我们教科书上的通解公式，但是某种意义上来说，这种方程更加简单。因为经过分段之后，它就是一道dydx=Constant的最简单的方程了。

以上的推导并没有基于N是整数。当然，现在看来，N是整数能够给出形式上比较简单的解。在N(s)∈(N−1,N]时，有
dN(s)ds=1−2N

它的解是
N(s)=(1−2N)s+N

这个解的生效区间是N(s)∈(N−1,N]，即只维持一个单位，所以在第一步，火车走了12N−1。
第二步，在N(s)∈(N−2,N−1]时，有
dN(s)ds=1−2(N−1)

它的解是（每一步都重新选择原点）
N(s)=(3−2N)s+N−1

这个解的生效区间是N(s)∈(N−2,N−1]，所以在第二步，火车走了12N−3。我们发现，这个过程是可以递推的，最终的结果是
S=1+13+⋯+12N−1

可以估算
12ln(2N−1)